江苏省泰州中学2026届高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期期中数学试题 （命题：王婵审题：孙娟 时间：120分钟满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足的集合的个数是（　　） A. 2 B. 16 C. 7 D. 8 2. 复数，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 4. 已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在区间内单调递减 C. 是图象的一个对称中心 D. 的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 10. 已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 是一个等差数列 B. 是一个等比数列 C. 对，． D. 数列的前项和为，则 11. 已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知为正数，且，则的最大值为______. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于点A，直线AF1交C的另一条渐近线于点，则C的离心率为______． 14. 两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）已知为边上一点，且，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，点为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （1）证明：为定值； （2）若，求的面积. 18. 现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； （3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 19. 已知函数，，曲线在点处的切线与轴垂直． （1）求的单调区间； （2）若，，使得，求实数的取值范围； （3）设，，证明：． 2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期期中数学试题 （命题：王婵审题：孙娟 时间：120分钟满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 【12题答案】 【答案】##0.125 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）存在，. 令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 【17题答案】 【答案】（1）设，则过点且斜率为1的直线可设为：，， 设，，且，. 因为点都在椭圆上，因此有， 两式相减得， 所以，因此，即点在定直线，上， 因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知， 所以. 故为定值. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 P （3） 【19题答案】 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2） （3）由（1）可知，即 ，当且仅当 时，等号成立， 由（2）可知当时，对任意的 ，，即， 所以，其中且， 在不等式 中令，可得， 所以， 所以， 所以 . 故原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $