专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

**基本信息** 三角函数与解三角形专题汇编，精选江苏多所名校期中试题，覆盖4大高频考点，融合《周髀算经》弦图等文化情境与测量、运动等实际应用，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|约30题|同角关系、诱导公式、恒等变换、图象性质、解三角形|结合向量（如向量表示求边长）、几何直观（图象变换与对称）| |填空|约15题|三角函数值计算、性质应用|文化情境（第7题弦图面积比求三角函数值）| |解答|约20题|三角恒等变换、图象性质综合、解三角形应用|实际应用（足球截球时间计算）、多问递进（含参数讨论单调性）|

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D. 1 3．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知角的终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）（多选）已知角的终边与角的终边关于直线对称，则一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知为的一个内角，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知，则　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知为第二象限角，若，则　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）设，且，则　　　　　　　　. 10．（2026·江苏泰州兴化·调研）（1）化简：； （2）已知，求的值． （3）已知为锐角，．求的值． 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）（多选）下列各式结果为1的有（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）已知，且，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知，，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则　　　　　　　. 11．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知，则　　　　　　. 12．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）已知是终边上一点，则　　　　　　　　. 13．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知，且，则　　　　　　. 14．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）若，则　　　　　. 15．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）函数图象的一条对称轴方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·江苏泰州兴化·调研）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·江苏徐州第一中学·二模）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则(       ) A.  B.  C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 6．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 该函数的解析式为 C. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D. 当时，函数的值域为 7．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 10．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  11．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（       ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 12．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）函数的图象的对称轴方程为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 13．（2026·江苏泰州兴化·调研）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（       ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 14．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 15．（2026·江苏泰州兴化·调研）（多选）在平面直角坐标系中，曲线C 由函数 和 的图象构成，则（       ） A. C关于直线 对称 B. C关于点 对称 C. 直线被C 截得的线段长的最大值为 D. C围成的图形的面积大于 16．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）（多选）设函数，则（       ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个正周期为 C. 的一个单调减区间是 D. 函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 18．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）（多选）在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则（       ）． A.  B. 的最小正周期为 C. 是的一个单调减区间 D. 的最大值为 19．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）写出一个相邻对称轴间距离为的函数　　　　　　　　　　　. 20．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 21．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及其单调增区间； （2）若，求不等式的解集. 22．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）若，且，求的值. 23．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知向量，，设函数． （1）若，，求的值； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若函数的图象关于直线对称，求在上的最大值和最小值． 24．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知函数，，直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心. （1）求； （2）设函数，，求的零点和单调递增区间. 25．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知向量\vec {a}=\left(\sin 2x,\cos 2x\right)，\vec {b}=\left(1,\sqrt{3}\right)，记函数f\left(x\right)=\vec {a}\cdot \vec {b}. （1）求函数的对称中心； （2）将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，求的值. 26．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）若函数在区间上恰有5个极值点，且在区间上单调，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 考点04 解三角形 1．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（     ） A.  B.  C.  D. 40 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）在中，的角平分线交于，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，\vec {AD}=\frac{3}{4}\vec {AB}+\frac{1}{4}\vec {AC}，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在中，已知，点在边上且．若\vec {AD}=m\vec {AB}+n\vec {AC}，则（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，若，则边的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 6．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）（多选）在中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 在锐角三角形中，不等式恒成立 7．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）（多选）若的外接圆半径为2，且，则（       ） A.  B. 的面积为 C. 当时，则 D. 可能是等腰三角形 9．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）在中，，则（       ） A.  B.  C. 或 D. 7 10．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）在中，若，则　　　　　　. 11．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）设，，求. 12．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 13．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在中，已知． （1）求角； （2）求\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}的值． 14．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求； （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，求长度的取值范围． 15．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）在中，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 16．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）在中，分别是角所对的边，点在边上，已知，的面积为． （1）求； （2）若，求的正切值． 17．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）在锐角中，角所对的边分别为. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 18．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知分别是三个内角的对边，且． （1）求角的大小； （2）若分别为的边上的点，且，求面积的最大值和此时的周长． 19．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 20．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）在中，角所对的边分别为，且\left| \vec {BA}+\vec {BC}\right| =2,\vec {AB}\cdot \vec {AC}=2，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）在中，内角所对边分别为， （1）若，求的值. （2）若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 22．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）在中，点是的中点，且AD=\frac{\sqrt{19}}{2},\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\frac{3}{2}. （1）若\vec {AD}=x\vec {AB}+y\vec {AC}，求的值； （2）求的值； （3）求周长的取值范围. 23．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）在中，角的对边分别为，\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| =\left| \vec {AB}-2\vec {AC}\right|． （1）判断的形状； （2）延长线段到（不同于），若且，求角的大小． 24．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且． （1）求角A； （2）M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，，AB＝2，求线段CN长． 25．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）在中，，，. （1）求； （2）求的角平分线的长. 26．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）在2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）的一场激烈比赛中，某城市队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以3倍于自己的速度向点做匀速直线滚动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为　　　　　　秒． 27．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）在中，角，，所对的边为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的值． 28．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，且\vec {AM}=\vec {MB},\vec {CN}=2\vec {NM}，求\left| \vec {CN}\right|的最小值. 29．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）设边上的中点为D. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）记，求的最大值. 31．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）在平面四边形中，，若满足上述条件的平面四边形有且只有1个，则边的取值范围是　　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为的面积为.已知. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若.分别在边上，且，求面积的最小值. 33．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）在中，对应的边分别为，. （1）求角的大小； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．A 2．A 3．C 4．CD 5．B 6．【答案】 【分析】 在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得结果. 【详解】 . 7．【答案】.5 【分析】 将小正方形与大正方形的面积之比表示关于的三角函数，从而可求，再结合同角关系求的值. 【详解】 大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意，，则，即， 由，得，则， 由，得，所以， 故答案为： 8．【答案】 【分析】 由诱导公式和同角平方关系即可求解. 【详解】 ，得， 所以， 又由条件可知：， 所以， 故答案为： 9．【答案】 【分析】 应用二倍角公式及同角三角函数关系计算化简，再结合同角三角函数关系求得，最后应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】 ， 又因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或不合题意，所以， 所以. 故答案为：. 10．【答案】（1）0；（2）；（3） 【分析】 （1）利用“奇变偶不变，符号看象限”化简即可得出答案； （2）利用与结合的范围即可得出答案； （3）由的值，可求出的值，由的值可求出的值，再利用求出答案。 【详解】 （1） ； （2）因为 所以 解得 又因为 所以 所以； （3）， 又因为为锐角， 所以， 所以， 所以， 所以 考点02 三角恒等变换 1．C 2．D 3．D 4．BD 5．C 6．A 7．D 8．D 9．D 10．【答案】 【分析】 法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】 法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 11．【答案】 【分析】 先利用已知的的值，结合的范围求出的值，再将变形为，最后利用两角和的余弦公式求出. 【详解】 因为，则， 因为，所以，可得： . 将变形为， 可得：， 把，，代入上式， 可得：. 因此， . 故答案为： 12．【答案】 【分析】 由三角函数定义求得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】 由题可得：，则 故答案为： 13．【答案】 【分析】 利用两角和与差的正弦余弦公式将展开，两边同时除以，再利用两角和的正切公式求得，代入求解即可. 【详解】 因为，所以， 两边同时除以，可得， 因为，所以， 所以，解得． 所以. 故答案为： 14．【答案】 【分析】 先切化弦条件等式的右边，结合二倍角正弦公式和辅助角公式求出，接着由诱导公式求出，再由倍角公式即可求解. 【详解】 由题， 所以， 所以. 故答案为： 15．【答案】 【分析】 先求，再利用二倍角公式，进而求解即得. 【详解】 由题意有：， 所以 ， 故答案为：. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．C 2．B 3．A 4．C 5．BCD 6．AC 7．B 8．A 9．ACD 10．B 11．BC 12．B 13．BC 14．A 15．AC 16．A 17．ABD 18．ACD 19．【答案】（答案不唯一）. 【分析】 不妨取函数，根据题意可得出函数的最小正周期，可求出的值，即可得出函数的解析式. 【详解】 不妨取函数，由题意可知函数的最小正周期为， 故，故. 故答案为：（答案不唯一）. 20．【答案】（1）     （2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.      【分析】 （1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. (1) 小问详解： 由题意，所以； (2) 小问详解： 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 21．【答案】（1），单调递增区间为     （2）      【分析】 （1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. (1) 小问详解： 由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. (2) 小问详解： 由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得，根据正弦函数性质求解单调增区间即可； （2）由题意，结合角的范围利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和的正弦公式化简求值即可. (1) 小问详解： . 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； (2) 小问详解： 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以. 23．【答案】（1）     （2）最大值为1，最小值为      【分析】 （1）根据向量数量积运算及辅助角公式化简得到，再结合求得； （2）根据三角函数图象变换得到解析式，结合范围求解取值范围. (1) 小问详解： 因为，， 所以f\left(x\right)=\overset{\rightarrow }{m}\cdot \overset{\rightarrow }{n}=\sin x\cos x+ & \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 2x+ & \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)， 所以，即， 因为，则，则， 所以， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，根据三角函数的图象变换规律， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，即， 因为，所以，因此， 因为，所以，则，即， 所以在上的最大值为1，最小值为. 24．【答案】（1）     （2）的零点为0，，，的单调递增区间为和      【分析】 （1）先由正弦型函数结构特征得函数周期，进而由周期公式求出参数，再将代入得到关于参数的方程即可求解； （2）先化简函数的解析式，接着令结合正弦函数性质、题设条件即可计算求解零点，再令结合题设条件即可求解. (1) 小问详解： 因为直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心， 所以函数的最小正周期，故. 又因为，故， 因为直线是函数的对称轴， 所以，故，， 又因为，故. 所以； (2) 小问详解： 由题 ， 由得，所以或，， 所以或，， 因为，所以，所以的零点为0，，； 由得，， 因为，所以， 所以的单调递增区间为和. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角函数化简和正弦型函数的对称中心，以及诱导公式二倍角公式的运用，解答时直接运用相关公式求解即可. (1) 小问详解： 因为f\left(x\right)=\vec {a}\cdot \vec {b}=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right) 令，解得， 所以函数的对称中心为； (2) 小问详解： 因为将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，所以； 又因为，所以，所以， 所以 26．【答案】 【分析】 由求出，结合极值点个数求出的范围，再由求出的范围，算出左端点的范围，结合正弦函数的单调性得到不等式组，解得即可. 【详解】 由，所以，又函数在区间上恰有5个极值点， 所以，解得， 由，则， 又在区间上单调， 由，所以，所以 或 ， 解得或， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 考点04 解三角形 1．D 2．B 3．D 4．B 5．B 6．BCD 7．D 8．BCD 9．B 10．【答案】 【分析】 根据正弦定理直接求解即可. 【详解】 在中，由正弦定理得， 所以. 故答案为： 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理及诱导公式求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. (1) 小问详解： 由正弦定理得：， 而， 所以，又，，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 由余弦定理， 又，所以，即，解得. 所以. 12．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）选① ，根据正弦定理边角互换，再结合恒等变形可得；选② ，由数量积及三角形面积公式可得即可求解；选③ ，整理化简得，再利用余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得，，再根据恒等变形化简得，结合锐角三角形及正弦型函数求值域即可． (1) 小问详解： 选① 在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又， 所以. 选② 由，得， 因为，所以，又， 所以. 选③ 由，得到， 所以， 又，所以. 根据余弦定理， 得. 即，整理得. 解得或（舍去）.所以. (2) 小问详解： 由， 得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以 则， 所以，即取值范围为. 13．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由诱导公式及两角和的正切公式可得，然后由题意可得答案； （2）设\left| \vec {AB}\right| =c\mathrm{，}\left| \vec {BC}\right| =a\mathrm{，}\left| \vec {CA}\right| =b，由余弦定理可得\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}= ，然后由题意及正弦定理可得，即可得答案. (1) 小问详解： 由诱导公式及两角和的正切公式， ， 则，从而； (2) 小问详解： 设\left| \vec {AB}\right| =c\mathrm{，}\left| \vec {BC}\right| =a\mathrm{，}\left| \vec {CA}\right| =b， 则\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}=-ac\cos B-ab\cos C-bc\cos A， 由余弦定理， . ，，又，， 则； ，，又，， 则. 由（1）结合正弦定理，. 则. 即\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}的值为. 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）在中先用余弦定理求，再用正弦定理求. （2）设，找出的函数关系，观察法求函数值域即可. (1) 小问详解： 由题意知． 在中，由余弦定理可得． 由正弦定理得，解得． (2) 小问详解： 如图： 设， 在中，由余弦定理得 ， 由知． 由题意得关于的方程在时有解， 等价于关于的方程在时有解， 由知，，即长度的取值范围为． 15．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由角平分线定理得出，结合余弦定理可得出，于是得出，，由及可得出的值，进而得出、，进而可求得的值； （3）由角平分线定理可得出，即得出，结合及两式相除并结合正弦定理、三角恒等变换得出，求出角的取值范围，可求出的取值范围，即可得出的取值范围. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 即， 整理得， 因为，所以，故，可得， 因为，所以. (2) 小问详解： 因为的角平分线交于点，且， 由角平分线定理可得， 又因为，由余弦定理可得， 所以，故，， 因为，则， 可得，故，，， 因此. (3) 小问详解： 因为为锐角三角形，且，则 ，解得， 由角平分线定理可得，即，解得， 故① ， 又因为② ， ①② 得，故 ， 因为，则， 因为，故， 所以，因此. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出，根据三角形面积公式和余弦定理即可求； （2）设，所以，分别在和，利用正弦定理，推得，计算即得. (1) 小问详解： 因为，所以， 因为，则，故由，可得. 因为，，解得， 由余弦定理得， 解得. (2) 小问详解： 设，所以． 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因，代入化简得， 即，解得，即. 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理化简即可求解.（2）利用，将化简为，再利用三角恒等变形化简，利用角的范围求函数的值域. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得：，因为在锐角中，，， 所以，由于， 则. (2) 小问详解： 因为， 所以， ， 因为在锐角中， ，所以 ， ， 的范围是. 18．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据条件，由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式求解； （2）由条件利用三角形面积公式得， 解法一：由，得，可求得面积的最大值，由余弦定理得，可求的周长. 解法二：由，得，利用基本不等式求出面积的最大值，由余弦定理得，可求的周长. (1) 小问详解： 中有， 由正弦定理得，， 又将代入得，， 展开得，， 整理得，， 由， 所以，得，即， 由知，所以， 故． (2) 小问详解： ， ， 解法一：由（1）知，， 故， 当且仅当时取等号，即面积的最大值为． 此时， 由余弦定理得， 的周长为. 解法二：由（1）知，， ， 当且仅当时取等号． 此时， 由余弦定理得， 的周长为. 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角； （2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. (1) 小问详解： 对变形，得，即. 因，故，所以，解得. (2) 小问详解： 由，，得. 由余弦定理，代入，， 得，即. 则，故. 因此，△ABC的周长为. 20．【答案】 【分析】 由向量的数量积的定义、运算律结合余弦定理得到 ，消去，得，代入配方即可求得最小值. 【详解】 由\left| \vec {BA}+\vec {BC}\right| =2平方，得\vec {BA}^{2}+\vec {BC}^{2}+2\vec {BA}\cdot \vec {BC}=4，即, 由\vec {AB}\cdot \vec {AC}=2，得, 在中，由余弦定理，得， ∴ ，消去，得， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 21．【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）由余弦定理代入数据即可求解； （2）（ⅰ），得到，再结合基本不等式即可求解；（ⅱ）由三角形角平分线定理得到，再由正弦定理得到，代入求得，即可求解. (1) 小问详解： 由余弦定理得： 所以的值； (2) 小问详解：    （ⅰ）∵ ∴ ，而， 当时，取“=” ∴ ，即AD的最大值为 （ⅱ）由三角形角平分线定理有， ∴ ，设 在中，由正弦定理有 ∴ 化简得：，解得：或（舍去） ∴ ，∴， 所以 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据\vec {AD}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}求解即可； （2）由\vec {AD}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}两边平方即可求解； （3）利用余弦定理可得：，结合基本不等式即可求出范围，从而得到周长范围. (1) 小问详解： 因为在中，点是的中点， 所以\vec {AD}=x\vec {AB}+y\vec {AC}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}，则，， 则； (2) 小问详解： 由\vec {AD}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}，可得\left(\vec {AD}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}\right)^{2}， 则\left(\vec {AD}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\vec {AB}\right)^{2}+\frac{1}{4}\left(\vec {AC}\right)^{2}+\frac{1}{2}\vec {AB}\cdot \vec {AC}， 即， 解得：； (3) 小问详解： 由\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\frac{3}{2}，可得：， 由余弦定理可得：，故， 由于，解得：， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为 即， 所以， 则周长的取值范围为. 23．【答案】（1）是等腰三角形     （2）或      【分析】 （1）将模长关系平方，再结合余弦定理可求解出的关系，由此可判断出的形状； （2）设，在和分别根据正弦定理可得关于的关系式，由此建立关于的方程，解之即可. (1) 小问详解： ∵\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| =\left| \vec {AB}-2\vec {AC}\right|，∴\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| ^{2}=\left| \vec {AB}-2\vec {AC}\right| ^{2}， 即\vec {AB}^{2}+\vec {AC}^{2}+2\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\vec {AB}^{2}+4\vec {AC}^{2}-4\vec {AB}\cdot \vec {AC}， ∴，即， 由余弦定理得，化简得， ∴是等腰三角形． (2) 小问详解： 如图，        由（1）设， 在中，由正弦定理得① ， 在中，由正弦定理得② ， ∵，① ② 相除可得， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴或，∴或， ∴角为或． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形的面积公式以及余弦定理求得，进而求得. （2）利用正弦定理求得，根据直角三角形的知识求得. (1) 小问详解： 因为， 由面积公式与余弦定理得 ， 因为，所以， 因为，所以， ， 所以； (2) 小问详解： 因为边的垂直平分线，如图可知，所以是等腰三角形， 且 是一个底角，故，为的中点，则， 在中，， 由正弦定理得， 因为，则， 所以在中，． 25．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据诱导公式以及正弦定理可得，即可求解， （2）利用余弦定理可求解，进而利用等面积法即可求解. (1) 小问详解： 由得， 由正弦定理得，即. 因为，所以， 又，故. (2) 小问详解： 在中，由余弦定理，， 得，解得（舍去负值）， 所以. 在中，， 则有 即，解得. 26．【答案】 【分析】 设在处截住足球，时间设为秒，则，，在中，利用余弦定理列方程求得或，即可求解. 【详解】 如图 设在处截住足球，时间设为秒，则，，则， 又，，在中，利用余弦定理可知，， 则， 化简得，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 故答案为： 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理及两角差的正弦定理化简得，解得，即可求得； （2）利用同角三角函数关系求得，利用二倍角正切公式得，然后利用两角差的正切公式求解即可. (1) 小问详解： 由正弦定理，因为， 所以， 所以， 整理得， 所以，所以或， 所以或（舍去），而,， 所以，所以. (2) 小问详解： 因为，所以， 所以，所以， 所以. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）运用正弦定理进行边化角，再运用辅助角公式，即可得解； （2）由三角形面积可得，再将\vec {CN}用\vec {AB}与\vec {AC}进行表示，表示出\left| \vec {CN}\right|后，利用基本不等式进行求解即可. (1) 小问详解： 由正弦定理，可转化为， 在三角形中，恒成立，两边同除，得， 即，则，则或， 则或（舍去）， 故. (2) 小问详解： 由题可知，为的中点，为的三等分点，且\vec {CN}=\frac{2}{3}\vec {CM}. 又\because \vec {CM}=\vec {AM}-\vec {AC}=\frac{1}{2}\vec {AB}-\vec {AC}， \therefore \vec {CN}=\frac{2}{3}\vec {CM}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec {AB}-\vec {AC}\right)=\frac{1}{3}\vec {AB}-\frac{2}{3}\vec {AC}. 由，可得. | \vec {CN}| =\sqrt{\left(\frac{1}{3}\vec {AB}-\frac{2}{3}\vec {AC}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}\vec {AB}^{2}+\frac{4}{9}\vec {AC}^{2}-\frac{4}{9}\vec {AB}\cdot \vec {AC}}=\sqrt{\frac{1}{9}c^{2}+\frac{4}{9}b^{2}-\frac{2}{9}bc} ， 当且仅当时，即时，等号成立. 故\left| \vec {CN}\right|的最小值为. 29．【答案】 【分析】 利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】 对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以 ，解得， ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 30．【答案】（1） ，则， 因，则，则， 又，则或者（舍），则；     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）利用二倍角的余弦公式化简，再结合三角函数求出； （2）（ⅰ）利用余弦定理以及即可； （ⅱ）在和中利用正弦定理，结合两角和差、倍角公式得出，令，结合辅助角公式和三角函数的最值求出最大值，并检验其存在性，即可求出的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）因，，，， 则在和中利用余弦定理可得， ， 得，则为等边三角形，故； （ⅱ）在和中利用正弦定理可得， ，， 两式联立可得，，即，即 则，即， 则， 因，则令， 则，其中， 则，得， 当时，， 因，则，则，则， 故当，即时，有最大值，此时， 故的最大值为. 31．【答案】 【分析】 在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，由题意，可得或，计算即可求解. 【详解】 在中，由余弦定理可得， 所以， 由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理可得， 即， 因为满足上述条件的平面四边形有且只有1个， 所以或，得或， 所以边的取值范围是. 故答案为： 32．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可. （2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到，再利用辅助角公式并结合正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可. （3）利用正弦定理求出，，结合可得，再结合辅助角公式和正弦函数的有界性得到，最后利用三角形面积公式得到结果即可. (1) 小问详解： 因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以由余弦定理得； (2) 小问详解： 由三角形面积公式得，且，解得， 由余弦定理得 ， 令，则，， 即，其中， 可得，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 由题意得，而，可得， 如图，作出符合题意的图形，    设，则是等边三角形，得到， 因为，所以，而， 故，设， 在中，由正弦定理得， 解得， 在中，由正弦定理得，解得， 如图，过作，可得，，，    由锐角三角函数的定义得，则， 因为，所以， 化简得，则， 由辅助角公式可得，， 由正弦函数有界性可得， 即，故， 由三角形面积公式得. 33．【答案】（1）；     （2）①108；②.      【分析】 （1）由正弦定理及三角恒等变换求解. （2）① 化简为，由三维柯西不等式求解；② 由三维柯西不等式有求解. (1) 小问详解： 在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. (2) 小问详解： ① 由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由 ，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用弦化切方法即可直接求解. 【详解】 由得. 故选：A 2．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）设，则（     ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】 因为， 所以 . 故选：A 3．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）已知角的终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【详解】 因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 4．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）（多选）已知角的终边与角的终边关于直线对称，则一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 依题意可得，再诱导公式判断即可. 【详解】 由角的终边与角的终边关于直线对称， 得，即， 所以，，C正确，A错误； ，， D正确，B错误. 故选：CD 5．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知为的一个内角，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，结合齐次法将给定等式变形为，进而求解即得. 【详解】 由为的一个内角及，得， 则， 整理得，即， 则，解得， 于是，而，解得. 故选：B 6．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得结果. 【详解】 . 7．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】.5 【分析】 将小正方形与大正方形的面积之比表示关于的三角函数，从而可求，再结合同角关系求的值. 【详解】 大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意，，则，即， 由，得，则， 由，得，所以， 故答案为： 8．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）已知为第二象限角，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由诱导公式和同角平方关系即可求解. 【详解】 ，得， 所以， 又由条件可知：， 所以， 故答案为： 9．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）设，且，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用二倍角公式及同角三角函数关系计算化简，再结合同角三角函数关系求得，最后应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】 ， 又因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或不合题意，所以， 所以. 故答案为：. 10．（2026·江苏泰州兴化·调研）（1）化简：； （2）已知，求的值． （3）已知为锐角，．求的值． 【答案】（1）0；（2）；（3） 【分析】 （1）利用“奇变偶不变，符号看象限”化简即可得出答案； （2）利用与结合的范围即可得出答案； （3）由的值，可求出的值，由的值可求出的值，再利用求出答案。 【详解】 （1） ； （2）因为 所以 解得 又因为 所以 所以； （3）， 又因为为锐角， 所以， 所以， 所以， 所以 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用同角三角函数的基本关系和正切二倍角公式求解. 【详解】 由得， 解得， 因为，所以，所以， 又因为， 所以， 由 解得 ，所以， 所以. 故选:C. 2．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 联立 ，解方程，再根据余弦的倍角公式可得答案. 【详解】 联立 ，解得： 或 ， 又因为，则，所以 ， 所以. 故选：D 3．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由两角和的余弦公式和辅助角公式得到，由倍角公式和诱导公式得到. 【详解】 ， 所以，， ， 故选：D. 4．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）（多选）下列各式结果为1的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 应用二倍角正弦公式及余弦二倍角公式计算判断A，C；应用两角和与差正弦及正切公式化简判断B，D. 【详解】 ，A选项错； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确； 故选：BD. 5．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据正弦、余弦函数的有界性可得出，，可求出、，代值计算即可得出的值. 【详解】 若，且，， 所以，， 所以，，则， 故，其中、. 故选：C. 6．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由条件可得及，展开并联立可解得，然后利用两角差的余弦公式求解. 【详解】 ∵，， ∴， ∴，即，即① ， ∵，∴② ， 联立① ② 解得， ∴. 故选：A. 7．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：D． 8．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）已知，且，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过角的拆分和三角恒等变换即可推导得到结果． 【详解】 由，，将其代入， 得， 展开得， 整理得，又，，， 所以，两边除以 ， 得，解得． 故选：D． 9．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】 ， 因为，则，则， 则. 故选：D. 10．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则　　　　　　　. 【答案】 【分析】 法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】 法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 11．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 先利用已知的的值，结合的范围求出的值，再将变形为，最后利用两角和的余弦公式求出. 【详解】 因为，则， 因为，所以，可得： . 将变形为， 可得：， 把，，代入上式， 可得：. 因此， . 故答案为： 12．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）已知是终边上一点，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由三角函数定义求得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】 由题可得：，则 故答案为： 13．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知，且，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两角和与差的正弦余弦公式将展开，两边同时除以，再利用两角和的正切公式求得，代入求解即可. 【详解】 因为，所以， 两边同时除以，可得， 因为，所以， 所以，解得． 所以. 故答案为： 14．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）若，则　　　　　. 【答案】 【分析】 先切化弦条件等式的右边，结合二倍角正弦公式和辅助角公式求出，接着由诱导公式求出，再由倍角公式即可求解. 【详解】 由题， 所以， 所以. 故答案为： 15．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求，再利用二倍角公式，进而求解即得. 【详解】 由题意有：， 所以 ， 故答案为：. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）函数图象的一条对称轴方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用正弦函数型对称轴的求法可得答案. 【详解】 令， 得：， 所以函数图象的对称轴方程为：. 令得：， 令得：， 令得：， 故只有选项C正确. 故选：C 2．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 代入余弦函数的对称性的公式，，即可求解. 【详解】 由余弦函数的对称性可知，，， 所以，，且， 所以的最小值为. 故选：B 3．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用函数图象变换求出解析式. 【详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再将得到的曲线上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得. 故选：A 4．（2026·江苏泰州兴化·调研）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【详解】 将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C 5．（2026·江苏徐州第一中学·二模）（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则(       ) A.  B.  C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】BCD 【分析】 对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】 对于A：如图，因为为等边三角形，且高为， 所以边长为，所以，，，A错误； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，，解得 又，所以，B正确； 对于C：由上知，而，C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为， 即所得图象与函数的图象重合，D正确. 故选：BCD. 6．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）（多选）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 该函数的解析式为 C. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D. 当时，函数的值域为 【答案】AC 【分析】 根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】 由函数的图象，可得且， 可得，则，所以， 又由，即， 因为，所以，所以，所以B不正确； 又由，所以A正确； 将函数的图象向右平移个单位得到， 可得，可得为奇函数， 即将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，所以C正确； 当时，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以当时，函数的值域为，所以D错误. 故选：AC. 7．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据平移后的图象的对称中心得到的对称中心，然后根据正切函数的对称性得到，然后求最小值即可. 【详解】 由题意得关于对称，所以， 整理得， 因为，所以当时取得最小值，为. 故选：B. 8．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依题意可得，即可求出的大致范围，再由的范围求出的范围，再确定左端点的范围，从而得到 ，解得即可. 【详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以，即，又，所以 ，解得， 由，则， 又，所以，所以 ，解得， 即的取值范围是. 故选：A 9．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【分析】 根据诱导公式化简可得，结合正弦函数最值性质可判断A选项；整体代入法计算的范围结合正弦函数性质可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】 函数 ． 选项A：， 当，，即，时，取最大值，最大值为2，A正确； 选项B：时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故D正确. 故选：ACD． 10．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 由题意可得，可求得，利用，求得的值，计算即可. 【详解】 函数的图象向左平移个单位后的解析式为， 又平移后的函数图像与原来图像重合，所以， 所以，所以，又，所以， 所以， 当时，则， 又，且时，， 所以，所以， 所以 . 故选：B. 11．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（       ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】 通过代入验证法求得可判断选项A；由求得结合的单调性可判断B；求得结合诱导公式和函数图象平移变换可判断C；由，得，根据题意该区间须包含和，进而得到，求解即可判断D. 【详解】 对于A，因为， 所以直线不是图象的对称轴，故A不正确； 对于B，若，则， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，向右平移个单位长度， 得，故C正确； 对于D，由，得， 而在上有极大值点和极小值点， 则，解得，实数的取值范围为.故D不正确. 故选：BC. 12．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）函数的图象的对称轴方程为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 根据正弦函数的对称轴方程，结合对数函数的性质即可求解. 【详解】 由题意可知：图象的对称轴，就是函数的图象的对称轴， 所以对称轴方程为，解得， 故选：B 13．（2026·江苏泰州兴化·调研）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（       ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】 根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】 A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 14．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 利用正弦型函数的对称性和单调性列出方程与不等式.，求解即得. 【详解】 因为的图象关于点中心对称，所以，，即，（*）. 由在上单调递减，可得，， 由，得，故，解得. 结合（*）可得. 故选：A. 15．（2026·江苏泰州兴化·调研）（多选）在平面直角坐标系中，曲线C 由函数 和 的图象构成，则（       ） A. C关于直线 对称 B. C关于点 对称 C. 直线被C 截得的线段长的最大值为 D. C围成的图形的面积大于 【答案】AC 【分析】 根据函数的图象判断A，B，结合三角函数值域判断C，应用割补法判断D. 【详解】 画出 C 的图象，由图可知 A 正确，B错误； 直线 被 C 截的弦长为故 C正确； 当 时，如图，4个阴影部分面积相等，区域② 的面积小于区域① 的面积，区域③ 的面积小于区域④ 的面积. 利用割补法知曲线C在 上围成的图形的面积小于以 为宽、2为高的矩形ABCD的面积，即曲线C围成的图形的面积小于，故D 错误. 故选 :AC. 16．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 应用辅助角公式得，再由图象平移得，结合图象的对称性及正弦函数的性质求参数值. 【详解】 由， 所以， 由图象关于对称，则， 所以，可得，而，故. 故选：A 17．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）（多选）设函数，则（       ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个正周期为 C. 的一个单调减区间是 D. 函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据正弦型函数的对称性、周期性、零点，结合诱导公式、辅助角公式、余弦型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】 因为， 所以的图象关于直线对称，因此选项A正确； 因为， 所以的一个正周期为，因此选项B正确； 当时，， 因为， 所以此时函数单调递增，因此选项C错误； 要想有最小值，只需都是零点， 因为该函数是以为周期的周期函数， 所以我们可以假设， 当时，， 令 ， 因此当时， 假设时，要想有2026个零点只需， 此时， 若时，要想有2026个零点只需， 此时， 因为， 所以的最小值为，因此选项D正确， 故选：ABD 18．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）（多选）在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则（       ）． A.  B. 的最小正周期为 C. 是的一个单调减区间 D. 的最大值为 【答案】ACD 【分析】 利用点到直线的距离公式及二倍角正弦公式得，代入求得判断A；结合诱导公式利用周期定义判断B，利用正弦函数性质判断C；利用基本不等式求解最值即可判断D. 【详解】 单位圆上，为到x轴的垂足，故，直线的直线方程为，即，则点到直线的距离， 对于A，，正确； 对于B，因为， 所以不是的周期，错误； 对于C，，所以，所以， 因为在单调递增，所以在单调递减，正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，正确. 故选：ACD 19．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）写出一个相邻对称轴间距离为的函数　　　　　　　　　　　. 【答案】（答案不唯一）. 【分析】 不妨取函数，根据题意可得出函数的最小正周期，可求出的值，即可得出函数的解析式. 【详解】 不妨取函数，由题意可知函数的最小正周期为， 故，故. 故答案为：（答案不唯一）. 20．（2026·江苏泰州兴化·调研）已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1）     （2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.      【分析】 （1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. (1) 小问详解： 由题意，所以； (2) 小问详解： 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 21．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及其单调增区间； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1），单调递增区间为     （2）      【分析】 （1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. (1) 小问详解： 由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. (2) 小问详解： 由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 22．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得，根据正弦函数性质求解单调增区间即可； （2）由题意，结合角的范围利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和的正弦公式化简求值即可. (1) 小问详解： . 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； (2) 小问详解： 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以. 23．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）已知向量，，设函数． （1）若，，求的值； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若函数的图象关于直线对称，求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）     （2）最大值为1，最小值为      【分析】 （1）根据向量数量积运算及辅助角公式化简得到，再结合求得； （2）根据三角函数图象变换得到解析式，结合范围求解取值范围. (1) 小问详解： 因为，， 所以f\left(x\right)=\overset{\rightarrow }{m}\cdot \overset{\rightarrow }{n}=\sin x\cos x+ & \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 2x+ & \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)， 所以，即， 因为，则，则， 所以， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，根据三角函数的图象变换规律， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到， 因为函数的图象关于直线对称， 所以，即， 因为，所以，因此， 因为，所以，则，即， 所以在上的最大值为1，最小值为. 24．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）已知函数，，直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心. （1）求； （2）设函数，，求的零点和单调递增区间. 【答案】（1）     （2）的零点为0，，，的单调递增区间为和      【分析】 （1）先由正弦型函数结构特征得函数周期，进而由周期公式求出参数，再将代入得到关于参数的方程即可求解； （2）先化简函数的解析式，接着令结合正弦函数性质、题设条件即可计算求解零点，再令结合题设条件即可求解. (1) 小问详解： 因为直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心， 所以函数的最小正周期，故. 又因为，故， 因为直线是函数的对称轴， 所以，故，， 又因为，故. 所以； (2) 小问详解： 由题 ， 由得，所以或，， 所以或，， 因为，所以，所以的零点为0，，； 由得，， 因为，所以， 所以的单调递增区间为和. 25．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知向量\vec {a}=\left(\sin 2x,\cos 2x\right)，\vec {b}=\left(1,\sqrt{3}\right)，记函数f\left(x\right)=\vec {a}\cdot \vec {b}. （1）求函数的对称中心； （2）将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角函数化简和正弦型函数的对称中心，以及诱导公式二倍角公式的运用，解答时直接运用相关公式求解即可. (1) 小问详解： 因为f\left(x\right)=\vec {a}\cdot \vec {b}=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right) 令，解得， 所以函数的对称中心为； (2) 小问详解： 因为将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，所以； 又因为，所以，所以， 所以 26．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）若函数在区间上恰有5个极值点，且在区间上单调，则的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由求出，结合极值点个数求出的范围，再由求出的范围，算出左端点的范围，结合正弦函数的单调性得到不等式组，解得即可. 【详解】 由，所以，又函数在区间上恰有5个极值点， 所以，解得， 由，则， 又在区间上单调， 由，所以，所以 或 ， 解得或， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 考点04 解三角形 1．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（     ） A.  B.  C.  D. 40 【答案】D 【分析】 在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】 在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）在中，的角平分线交于，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】 由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 3．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，\vec {AD}=\frac{3}{4}\vec {AB}+\frac{1}{4}\vec {AC}，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据向量数量积运算化简条件式可得，结合基本不等式运算得解. 【详解】 由\vec {AD}=\frac{3}{4}\vec {AB}+\frac{1}{4}\vec {AC}，则\vec {AD}^{2}=\left(\frac{3}{4}\vec {AB}+\frac{1}{4}\vec {AC}\right)^{2}， \therefore 3=\frac{9}{16}\left| \vec {AB}\right| ^{2}+\frac{1}{16}\left| \vec {AC}\right| ^{2}+\frac{3}{8}\vec {AB}\cdot \vec {AC}，即， 整理得， ，又， ，即， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为8. 故选：D. 4．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在中，已知，点在边上且．若\vec {AD}=m\vec {AB}+n\vec {AC}，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 +由三角函数知识结合正弦定理可得，，据此可得答案. 【详解】 由题，且为锐角，则 ，又， 则，. . 由正弦定理，， ， 则\frac{BD}{DC}=\frac{7}{5}\Rightarrow \vec {BD}=\frac{7}{5}\vec {DC}\Rightarrow \vec {AD}-\vec {AB}=\frac{7}{5}\left(\vec {AC}-\vec {AD}\right)，则\vec {AD}=\frac{5}{12}\vec {AB}+\frac{7}{12}\vec {AC}\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{5}{7}. 故选：B 5．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，若，则边的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 利用余弦定理化简得出，利用诱导公式化简得出，最后利用正弦定理即可. 【详解】 由结合余弦定理可得， 化简得，则， 又，则， 则，即， 则由正弦定理，得. 故选：B 6．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）（多选）在中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 在锐角三角形中，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】 利用正弦边角关系判断A；应用三角恒等变换可得，结合三角形内角和性质得或，判断B；由三角形内角和，结合即可判断C；由锐角三角形，结合诱导公式判断D. 【详解】 A，由，则，结合，则，错； B，由，则， 整理得，而，， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形，对； C，由，而，故均为锐角，则为锐角三角形，对； D，锐角三角形中，则，故，对. 故选：BCD 7．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 可设三角形的三边长为，不妨设，由此结合三角形为锐角三角形可求出之间的关系，即可得，结合换元法求解，即可求得答案. 【详解】 由题意可设三角形的三边长为，不妨设， 由于三边长成等差数列，故， 由于三角形中，需满足，（恒成立）， 结合，则，得； 又三角形为锐角三角形，需满足， 即，即， 即，结合，可得； 又 令，则，故， 由于在时单调递增，故在上单调递增， 故当时，取最小值， 当时，， 故该三角形的最小内角余弦值的取值范围是. 故选：D 8．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）（多选）若的外接圆半径为2，且，则（       ） A.  B. 的面积为 C. 当时，则 D. 可能是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】 利用正弦定理计算可判断A，利用三角形面积公式计算可判断B；利用三角恒等变换计算可判断C；利用赋值法可判断D. 【详解】 由，得， 所以，故A错误； 的面积为，故B正确； 当时，由已知得， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以，故C正确； 取，满足，所以可能是等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 9．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）在中，，则（       ） A.  B.  C. 或 D. 7 【答案】B 【分析】 由题意可推出，结合和，求出，继而求得，即可求出，利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】 在中，，故，即得， 结合，得， 则，即， 则，即得，则C为锐角， 由，结合， 解得， 则， ， 故， 由，得， 故选：B 10．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）在中，若，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据正弦定理直接求解即可. 【详解】 在中，由正弦定理得， 所以. 故答案为： 11．（2026·江苏徐州第一中学·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）设，，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理及诱导公式求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. (1) 小问详解： 由正弦定理得：， 而， 所以，又，，所以， 又，所以. (2) 小问详解： 由余弦定理， 又，所以，即，解得. 所以. 12．（25-26学年高三上·江苏镇江·期中）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）选① ，根据正弦定理边角互换，再结合恒等变形可得；选② ，由数量积及三角形面积公式可得即可求解；选③ ，整理化简得，再利用余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得，，再根据恒等变形化简得，结合锐角三角形及正弦型函数求值域即可． (1) 小问详解： 选① 在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又， 所以. 选② 由，得， 因为，所以，又， 所以. 选③ 由，得到， 所以， 又，所以. 根据余弦定理， 得. 即，整理得. 解得或（舍去）.所以. (2) 小问详解： 由， 得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以 则， 所以，即取值范围为. 13．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在中，已知． （1）求角； （2）求\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}的值． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由诱导公式及两角和的正切公式可得，然后由题意可得答案； （2）设\left| \vec {AB}\right| =c\mathrm{，}\left| \vec {BC}\right| =a\mathrm{，}\left| \vec {CA}\right| =b，由余弦定理可得\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}= ，然后由题意及正弦定理可得，即可得答案. (1) 小问详解： 由诱导公式及两角和的正切公式， ， 则，从而； (2) 小问详解： 设\left| \vec {AB}\right| =c\mathrm{，}\left| \vec {BC}\right| =a\mathrm{，}\left| \vec {CA}\right| =b， 则\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}=-ac\cos B-ab\cos C-bc\cos A， 由余弦定理， . ，，又，， 则； ，，又，， 则. 由（1）结合正弦定理，. 则. 即\vec {AB}\cdot \vec {BC}+\vec {BC}\cdot \vec {CA}+\vec {CA}\cdot \vec {AB}的值为. 14．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求； （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，求长度的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）在中先用余弦定理求，再用正弦定理求. （2）设，找出的函数关系，观察法求函数值域即可. (1) 小问详解： 由题意知． 在中，由余弦定理可得． 由正弦定理得，解得． (2) 小问详解： 如图： 设， 在中，由余弦定理得 ， 由知． 由题意得关于的方程在时有解， 等价于关于的方程在时有解， 由知，，即长度的取值范围为． 15．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）在中，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由角平分线定理得出，结合余弦定理可得出，于是得出，，由及可得出的值，进而得出、，进而可求得的值； （3）由角平分线定理可得出，即得出，结合及两式相除并结合正弦定理、三角恒等变换得出，求出角的取值范围，可求出的取值范围，即可得出的取值范围. (1) 小问详解： 因为，由正弦定理得， 即， 整理得， 因为，所以，故，可得， 因为，所以. (2) 小问详解： 因为的角平分线交于点，且， 由角平分线定理可得， 又因为，由余弦定理可得， 所以，故，， 因为，则， 可得，故，，， 因此. (3) 小问详解： 因为为锐角三角形，且，则 ，解得， 由角平分线定理可得，即，解得， 故① ， 又因为② ， ①② 得，故 ， 因为，则， 因为，故， 所以，因此. 16．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）在中，分别是角所对的边，点在边上，已知，的面积为． （1）求； （2）若，求的正切值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出，根据三角形面积公式和余弦定理即可求； （2）设，所以，分别在和，利用正弦定理，推得，计算即得. (1) 小问详解： 因为，所以， 因为，则，故由，可得. 因为，，解得， 由余弦定理得， 解得. (2) 小问详解： 设，所以． 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因，代入化简得， 即，解得，即. 17．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）在锐角中，角所对的边分别为. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理化简即可求解.（2）利用，将化简为，再利用三角恒等变形化简，利用角的范围求函数的值域. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得：，因为在锐角中，，， 所以，由于， 则. (2) 小问详解： 因为， 所以， ， 因为在锐角中， ，所以 ， ， 的范围是. 18．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知分别是三个内角的对边，且． （1）求角的大小； （2）若分别为的边上的点，且，求面积的最大值和此时的周长． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据条件，由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式求解； （2）由条件利用三角形面积公式得， 解法一：由，得，可求得面积的最大值，由余弦定理得，可求的周长. 解法二：由，得，利用基本不等式求出面积的最大值，由余弦定理得，可求的周长. (1) 小问详解： 中有， 由正弦定理得，， 又将代入得，， 展开得，， 整理得，， 由， 所以，得，即， 由知，所以， 故． (2) 小问详解： ， ， 解法一：由（1）知，， 故， 当且仅当时取等号，即面积的最大值为． 此时， 由余弦定理得， 的周长为. 解法二：由（1）知，， ， 当且仅当时取等号． 此时， 由余弦定理得， 的周长为. 19．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角； （2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. (1) 小问详解： 对变形，得，即. 因，故，所以，解得. (2) 小问详解： 由，，得. 由余弦定理，代入，， 得，即. 则，故. 因此，△ABC的周长为. 20．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）在中，角所对的边分别为，且\left| \vec {BA}+\vec {BC}\right| =2,\vec {AB}\cdot \vec {AC}=2，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由向量的数量积的定义、运算律结合余弦定理得到 ，消去，得，代入配方即可求得最小值. 【详解】 由\left| \vec {BA}+\vec {BC}\right| =2平方，得\vec {BA}^{2}+\vec {BC}^{2}+2\vec {BA}\cdot \vec {BC}=4，即, 由\vec {AB}\cdot \vec {AC}=2，得, 在中，由余弦定理，得， ∴ ，消去，得， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 21．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）在中，内角所对边分别为， （1）若，求的值. （2）若的角平分线交于点. （ⅰ）若，求的最大值； （ⅱ）若，，求的面积. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）由余弦定理代入数据即可求解； （2）（ⅰ），得到，再结合基本不等式即可求解；（ⅱ）由三角形角平分线定理得到，再由正弦定理得到，代入求得，即可求解. (1) 小问详解： 由余弦定理得： 所以的值； (2) 小问详解：    （ⅰ）∵ ∴ ，而， 当时，取“=” ∴ ，即AD的最大值为 （ⅱ）由三角形角平分线定理有， ∴ ，设 在中，由正弦定理有 ∴ 化简得：，解得：或（舍去） ∴ ，∴， 所以 22．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）在中，点是的中点，且AD=\frac{\sqrt{19}}{2},\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\frac{3}{2}. （1）若\vec {AD}=x\vec {AB}+y\vec {AC}，求的值； （2）求的值； （3）求周长的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据\vec {AD}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}求解即可； （2）由\vec {AD}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}两边平方即可求解； （3）利用余弦定理可得：，结合基本不等式即可求出范围，从而得到周长范围. (1) 小问详解： 因为在中，点是的中点， 所以\vec {AD}=x\vec {AB}+y\vec {AC}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}，则，， 则； (2) 小问详解： 由\vec {AD}=\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}，可得\left(\vec {AD}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\vec {AB}+\frac{1}{2}\vec {AC}\right)^{2}， 则\left(\vec {AD}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\vec {AB}\right)^{2}+\frac{1}{4}\left(\vec {AC}\right)^{2}+\frac{1}{2}\vec {AB}\cdot \vec {AC}， 即， 解得：； (3) 小问详解： 由\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\frac{3}{2}，可得：， 由余弦定理可得：，故， 由于，解得：， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为 即， 所以， 则周长的取值范围为. 23．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）在中，角的对边分别为，\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| =\left| \vec {AB}-2\vec {AC}\right|． （1）判断的形状； （2）延长线段到（不同于），若且，求角的大小． 【答案】（1）是等腰三角形     （2）或      【分析】 （1）将模长关系平方，再结合余弦定理可求解出的关系，由此可判断出的形状； （2）设，在和分别根据正弦定理可得关于的关系式，由此建立关于的方程，解之即可. (1) 小问详解： ∵\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| =\left| \vec {AB}-2\vec {AC}\right|，∴\left| \vec {AB}+\vec {AC}\right| ^{2}=\left| \vec {AB}-2\vec {AC}\right| ^{2}， 即\vec {AB}^{2}+\vec {AC}^{2}+2\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\vec {AB}^{2}+4\vec {AC}^{2}-4\vec {AB}\cdot \vec {AC}， ∴，即， 由余弦定理得，化简得， ∴是等腰三角形． (2) 小问详解： 如图，        由（1）设， 在中，由正弦定理得① ， 在中，由正弦定理得② ， ∵，① ② 相除可得， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴或，∴或， ∴角为或． 24．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且． （1）求角A； （2）M，N分别在线段BC，AC上，且MN垂直平分BC，，AB＝2，求线段CN长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形的面积公式以及余弦定理求得，进而求得. （2）利用正弦定理求得，根据直角三角形的知识求得. (1) 小问详解： 因为， 由面积公式与余弦定理得 ， 因为，所以， 因为，所以， ， 所以； (2) 小问详解： 因为边的垂直平分线，如图可知，所以是等腰三角形， 且 是一个底角，故，为的中点，则， 在中，， 由正弦定理得， 因为，则， 所以在中，． 25．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）在中，，，. （1）求； （2）求的角平分线的长. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据诱导公式以及正弦定理可得，即可求解， （2）利用余弦定理可求解，进而利用等面积法即可求解. (1) 小问详解： 由得， 由正弦定理得，即. 因为，所以， 又，故. (2) 小问详解： 在中，由余弦定理，， 得，解得（舍去负值）， 所以. 在中，， 则有 即，解得. 26．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）在2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）的一场激烈比赛中，某城市队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以3倍于自己的速度向点做匀速直线滚动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为　　　　　　秒． 【答案】 【分析】 设在处截住足球，时间设为秒，则，，在中，利用余弦定理列方程求得或，即可求解. 【详解】 如图 设在处截住足球，时间设为秒，则，，则， 又，，在中，利用余弦定理可知，， 则， 化简得，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 故答案为： 27．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）在中，角，，所对的边为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正弦定理及两角差的正弦定理化简得，解得，即可求得； （2）利用同角三角函数关系求得，利用二倍角正切公式得，然后利用两角差的正切公式求解即可. (1) 小问详解： 由正弦定理，因为， 所以， 所以， 整理得， 所以，所以或， 所以或（舍去），而,， 所以，所以. (2) 小问详解： 因为，所以， 所以，所以， 所以. 28．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，且\vec {AM}=\vec {MB},\vec {CN}=2\vec {NM}，求\left| \vec {CN}\right|的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）运用正弦定理进行边化角，再运用辅助角公式，即可得解； （2）由三角形面积可得，再将\vec {CN}用\vec {AB}与\vec {AC}进行表示，表示出\left| \vec {CN}\right|后，利用基本不等式进行求解即可. (1) 小问详解： 由正弦定理，可转化为， 在三角形中，恒成立，两边同除，得， 即，则，则或， 则或（舍去）， 故. (2) 小问详解： 由题可知，为的中点，为的三等分点，且\vec {CN}=\frac{2}{3}\vec {CM}. 又\because \vec {CM}=\vec {AM}-\vec {AC}=\frac{1}{2}\vec {AB}-\vec {AC}， \therefore \vec {CN}=\frac{2}{3}\vec {CM}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec {AB}-\vec {AC}\right)=\frac{1}{3}\vec {AB}-\frac{2}{3}\vec {AC}. 由，可得. | \vec {CN}| =\sqrt{\left(\frac{1}{3}\vec {AB}-\frac{2}{3}\vec {AC}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}\vec {AB}^{2}+\frac{4}{9}\vec {AC}^{2}-\frac{4}{9}\vec {AB}\cdot \vec {AC}}=\sqrt{\frac{1}{9}c^{2}+\frac{4}{9}b^{2}-\frac{2}{9}bc} ， 当且仅当时，即时，等号成立. 故\left| \vec {CN}\right|的最小值为. 29．（25-26学年高三上·江苏南通启东·期中）在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】 对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以 ，解得， ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 30．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）设边上的中点为D. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）记，求的最大值. 【答案】（1） ，则， 因，则，则， 又，则或者（舍），则；     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）利用二倍角的余弦公式化简，再结合三角函数求出； （2）（ⅰ）利用余弦定理以及即可； （ⅱ）在和中利用正弦定理，结合两角和差、倍角公式得出，令，结合辅助角公式和三角函数的最值求出最大值，并检验其存在性，即可求出的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）因，，，， 则在和中利用余弦定理可得， ， 得，则为等边三角形，故； （ⅱ）在和中利用正弦定理可得， ，， 两式联立可得，，即，即 则，即， 则， 因，则令， 则，其中， 则，得， 当时，， 因，则，则，则， 故当，即时，有最大值，此时， 故的最大值为. 31．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）在平面四边形中，，若满足上述条件的平面四边形有且只有1个，则边的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，由题意，可得或，计算即可求解. 【详解】 在中，由余弦定理可得， 所以， 由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理可得， 即， 因为满足上述条件的平面四边形有且只有1个， 所以或，得或， 所以边的取值范围是. 故答案为： 32．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为的面积为.已知. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若.分别在边上，且，求面积的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可. （2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到，再利用辅助角公式并结合正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可. （3）利用正弦定理求出，，结合可得，再结合辅助角公式和正弦函数的有界性得到，最后利用三角形面积公式得到结果即可. (1) 小问详解： 因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以由余弦定理得； (2) 小问详解： 由三角形面积公式得，且，解得， 由余弦定理得 ， 令，则，， 即，其中， 可得，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. (3) 小问详解： 由题意得，而，可得， 如图，作出符合题意的图形，    设，则是等边三角形，得到， 因为，所以，而， 故，设， 在中，由正弦定理得， 解得， 在中，由正弦定理得，解得， 如图，过作，可得，，，    由锐角三角函数的定义得，则， 因为，所以， 化简得，则， 由辅助角公式可得，， 由正弦函数有界性可得， 即，故， 由三角形面积公式得. 33．（2026·江苏如东高级中学与沭阳如东中学·联考）在中，对应的边分别为，. （1）求角的大小； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 【答案】（1）；     （2）①108；②.      【分析】 （1）由正弦定理及三角恒等变换求解. （2）① 化简为，由三维柯西不等式求解；② 由三维柯西不等式有求解. (1) 小问详解： 在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. (2) 小问详解： ① 由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由 ，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $