精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

建平县实验中学高二开学阶段性训练 （数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（ ） A. ，甲的成绩更稳定 B. ，乙的成绩更稳定 C. ，甲的成绩更稳定 D. ，乙的成绩更稳定 3. 已知圆锥的底面半径为2，母线长6，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 向量共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（ ）杯． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 已知角的大小如图所示，则（ ） A. B. 5 C. D. 7. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（ ） A. B. C. 100 D. 300 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有两解 D. 在中，若，则为直角三角形或等腰三角形. 11. 已知中，，点为边上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若的面积为面积的，则 D. 当为中点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与事件相互独立，如果，，________． 13. 函数与的图象在上有个交点，坐标分别为，，…，，则__________． 14. 已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数（，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值； 16. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 17. 中，设角，，的对边分别为，，．已知：． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 18. 已知函数在区间上的最大值为6， （1）求常数m的值，及在上的最小值； （2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求． 19. 在中，，为边的中点，若在方向上的投影向量的模为． （1）求； （2）若点在所在平面内，，． （ⅰ）证明：点为的重心； （ⅱ）记中的最小值为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学高二开学阶段性训练 （数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知，，. 所以. 2. 以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（ ） A. ，甲的成绩更稳定 B. ，乙的成绩更稳定 C. ，甲的成绩更稳定 D. ，乙的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据图中数据的离散程度来比较方差，进而比较稳定性即可． 【详解】由图可知，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中， 所以，乙的成绩更稳定． 3. 已知圆锥的底面半径为2，母线长6，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知圆锥的底面圆半径，母线， 所以圆锥的侧面积为. 4. 向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量共线， 所以，即， 所以，则 5. 孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶．泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤．茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗．如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高．装满一壶茶水，最多能倒满（ ）杯． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用圆台和圆柱的体积公式计算茶壶和茶杯的容积，作商后向下取整即可得出结果． 【详解】设圆台的上、下底半径分别为、，高为，体积为；圆柱的底面半径为，高为，体积为． 由题意可知，，，，，， 根据圆台和圆柱的体积公式，茶壶的容积为： ， 茶杯的容积为：， 则最多能倒满的杯数为：， 因为要求倒满的杯数，故取整数部分，即最多能倒满15杯． 6. 已知角的大小如图所示，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图中的信息可知 ，化简 即可. 【详解】由图可知， ， ； 故选：A. 7. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，利用伸缩变换得到，再逐项判断. 【详解】因为函数， 所以将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数， 则的最大值为2，故A正确； 因为，所以的图象不关于对称，故B错误； 因为，所以函数为偶函数，故C正确； 因为，所以， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（ ） A. B. C. 100 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】求出，由正弦定理求出，进而利用三角函数求出高度. 【详解】如图由题意得：，， 在中，， 在中，， 由正弦定理得：，即， 解得：， 由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC， 则（m）. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有两解 D. 在中，若，则为直角三角形或等腰三角形. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：结合三角形大角对大边的基本性质，搭配正弦定理的边角互化规则，可直接推导. 选项B：若两个角的正弦值相等，存在两角相等、两角互补两种情况，因此不能直接推出，需考虑的特殊情况. 选项C：对比、、三者的大小关系，即可快速判断解的数量. 选项D：利用三角形内角和定理将转化为，再通过两角和差的正弦公式展开化简，即可判定三角形的形状. 【详解】对选项A：∵ 在中，若，由大角对大边性质得，由正弦定理得（为外接圆半径）， ∴ ，，代入得， 又，∴ ，故A正确. 对选项B：∵ ，且， ∴ 或，即或，故B错误. 对选项C：∵ ，，， ∴ ，满足， 根据三角形解的个数判定规则，此时有两解，故C正确. 对选项D：∵ ，∴ ， 代入等式得：， 展开左边得：， 右边， 移项整理得：， ∴ 或， ∵， ∴ 若，则，为直角三角形； 若，则，为等腰三角形，故D正确. 11. 已知中，，点为边上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若的面积为面积的，则 D. 当为中点时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线结合与面积比等于即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D. 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则， 所以，故A正确． 对于B，若，则，结合，得，为等边三角形． ,， 则 ， 当时，取得最小值，故B错误． 对于C，由在上，设且， 因为与面积比等于， 由得，故C错误． 对于D，当为中点时，， 则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与事件相互独立，如果，，________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得， 因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 所以. 13. 函数与的图象在上有个交点，坐标分别为，，…，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，且 从而，由图可得与在有四个交点， 从而，且，，所以. 14. 已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等边三角形面积公式求的边长，即可求的外接圆半径r，确定D在平面的投影位置，通过勾股定理可算出棱锥高的长度，设外接球半径为R，球心O在高所在直线上，根据球心到A和到D的距离均为R列方程，解出R，最后用球的体积公式计算体积. 【详解】已知为等边三角形，设边长为a，其面积，解得，即； 设底面的外接圆半径为r，， 因为，所以D在底面上的投影H即为 的外心; 在直角中，高, 设四面体外接球的球心为O，半径为R，球心O必在高线所在的直线上； 设，由于D到平面的距离为，球心到平面的距离为x， 则； 同时，球心到顶点D的距离也为R，则， 故，解得，由此可知O在延长线上， 则球的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数（，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由图可知，函数图象的最高点为，最高点右侧相邻的零点为. 从最高点到其右侧相邻的零点，图象经历个周期，所以，解得. 由且，得. 又最高点在图象上，所以，即，. 所以，. 因为，所以. 所以. 【小问2详解】 由，得. 因为，所以由诱导公式得. 所以. 16. 某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值 （2）估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法从和两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名学生进行交流分享，求这2名交流分享的学生成绩均在区间的概率； 【答案】（1） （2）平均数为74分，中位数75 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有长方形的面积之和是1求出即可； （2）利用平均数和中位数的求法直接求出； （3）利用分层抽样抽取4人，然后再利用超几何分布求出概率, 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得; 【小问2详解】 样本成绩的平均数为：分; ，，的频率之和为0.35，所以中位数在之间，设中位数为x，则，得; 【小问3详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在的频率为，答卷成绩在的频率为，所以样本答卷成绩在和的人数比为3∶1，即从答卷成绩在和中分别抽取3人和1人, 记为A，B，C，，从这4人中随机抽取2名依次交流，则样本空间为： ，共有6种情形，即, 设事件“2名进行交流分享的学生成绩均在区间”，则事件，共有3种，即， 由古典概型的概率计算公式，可得， 所以2名进行交流分享的学生成绩均在区间的概率为. 17. 中，设角，，的对边分别为，，．已知：． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理求解； （2）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【小问1详解】 已知， 由正弦定理，得， 又由余弦定理，则， 因为，，所以， 又，故，从而. 【小问2详解】 由（1）知，故， 因为为锐角三角形，所以， 由边上的高为2，有， 于是三角形面积， 又， 所以， 当时，，故， 当时取到等号1，而不能取到. 因此. 所以面积的取值范围为. 18. 已知函数在区间上的最大值为6， （1）求常数m的值，及在上的最小值； （2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求． 【答案】（1），在上的最小值为3 （2）或 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式，结合三角函数的性质求的值与函数的最小值. （2）先确定角的值. 方法一：建立坐标系，利用平面向量的数量积的坐标运算求解. 方法二：分点在的角平分线和角平分线的反向延长线上，分别求值. 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以. 所以. 由. 所以在上的最小值为3. 【小问2详解】 ， 因为，所以. 方法一：以点A为原点，建立如图所示的坐标系，则，， 设，则， 所以，， ， ， ， 所以，，， 所以或. 方法二：按图甲，点在的角平分线上， ， 按图乙，点在的角平分线的反向延长线上， . 19. 在中，，为边的中点，若在方向上的投影向量的模为． （1）求； （2）若点在所在平面内，，． （ⅰ）证明：点为的重心； （ⅱ）记中的最小值为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）因为，所以， 因为为边边的中点，所以，即， 所以点在中线上；同理：点在其他中线上； 所以，点为的重心 （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）首先利用等腰三角形三线合一性质，结合投影向量模的条件，可推出的值，再结合中角的关系，利用三角形内角和或向量夹角公式计算. （2）（ⅰ）因为D是BC中点，所以，结合已知，可推导出与的关系，根据重心的向量判定性质证明结论. （ⅱ）结合重心特点与对称性即可求 【小问1详解】 因为在方向上的投影向量的模为 ， 所以，因为，为边的中点，所以， 所以，， 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为为的重心，又是正三角形，点为的中心， 所以，，， 由对称性，不妨设与的夹角为， ， 不妨设与，与的夹角分别为，， 所以的值分别为，， 当时，， 所以， 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $