山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第21章共边比例定理共角比例定理

第21章 共边比例定理 共角比例定理 共边比例定理若两个共边 的三角形 ， 的对应顶点 ， 所在直线与 交于 ，则 ． 证法1由同底三角形的面积关系式，有 ， ． 由上述两式相加即证得图21-1中（1）、（2），上述两式相减即证得图21-1中（3）、（4）情形． 证法2不妨设 与 不同，则 ． 证法3在直线 上取一点 ，使 ，则 ， ． 所以， ． 共角比例定理若 与 相等或互补，则有 （或 ） 证明把两个三角形拼在一起，让 的两边所在直线与 的两边所在直线重合，如图21-2所示，其中图（1）是两角相等的情形，图（2）是两角互补的情形，两情形下都有 共角比例定理的推广 与 相等或互补，点 在直线 上且不同于 ，点 在直线 上且不同于 ，则 证明不妨设 ， ， ， 共线如图21-3，则 共角比例不等式如果 ，而且两角之和小于 ，则 （或 ）． 证明记 ， ． 如图21-4，作一个顶角为 的等腰 ，延长 至 ，使 ，则 ．由共角比例定理，有 共角比例逆定理在 和 中，若 ，则 与 相等或互补． 证明用反证法．假设 ， 不相等也不互补，不妨设 ．这时有两种情形： ． 若 ，由共角比例不等式，得 这与题给条件矛盾． 若 ，如图21-5，延长 至 ，使 ，延长 至 使 ．这时， ，而且 由共角比例不等式，得 但由共边比例定理，知 ， 且 ， 故上述不等式，即为 这也与已知题给条件矛盾． 从而假设 ， 不相等也不互补不成立． 故 与 相等或互补． 下面给出应用上述定理证明问题的例子． 例1（1999年全国高中联赛题）在四边形 中，对角线 平分 ．在 上取一点 ， 与 相交于点 ，延长 交 于 ．求证： ． 证法1如图21-6，在 中，对割线 应用梅涅劳斯定理，并注意到共边比例定理，有 ． 于是， 证法2如图21-6，对 及点 应用塞瓦定理（令 交 于点 ），并注意到共边比例定理， 有 （以下同证法，略） 例2（2003年全国高中联赛题）过圆外一点 作圆的两条切线和一条割线，切点为 ， ，所作割线交圆于 、 两点， 在 、 之间，在弦 上取一点 ，使么 ． 求证： ． 证明如图21-7，设 ， ． 在 中，由正弦定理，有 ． 过 、 分别作 于 ，作 于 ，注意到共边比例定理，有 ． 又 ，则 ． 于是， ．故 ． 例3（2009年国家集训队测试题）如图21-8，在凸五边形 中，