2.2 三角形全等判定 第一课时（SAS）课件 2026--2027学年青岛版八年级数学上册

2026.8 2.2三角形全等判定 主讲人： 第一课时 边角边 SAS 课本 一张空白的本子纸（大作业本纸即可） 双色笔 直尺和三角板（2个） 圆规 课前准备 1.知道三角形全等“边角边”的内容（重点）； 2.会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件（重难点）； 3.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 学习目标 目录 壹 复习引入 肆 实际应用与拓展 叁 习题演练 贰 性质与判定定理 第一部分 复习引入 A B C D E F 1.什么叫全等三角形？ 能够重合的两个三角形叫全等三角形. 3.已知△ABC ≌△DEF，你能得到哪些相等的边与角？ ①AB=DE ③CA=FD ②BC=EF ④∠A=∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C=∠F 2.全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 知识回顾 想一想 全等三角形的性质是？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等 反过来成立吗？ 基本概念界定与理解 基本概念界定与理解 由所学内容可知，如果△ABC≌△A'B'C'，则有对应边相等，对应角相等. 反之，如果满足三条边分别相等，三个角分别相等，那么能判定△ABC≌△A'B'C'吗？ 是否必须同时满足三条边分别相等，三个角分别相等，才能保证两个三角形全等？如果只选取其中的一部分条件还能保证两个三角形全等吗？ 合作探究 基本概念界定与理解 两个三角形,具备哪些条件才全等呢? 两个条件 （1) 三角形的一个角 ,一条边对应相等 （2）三角形的两条边对应相等 （3）三角形的两个角对应相等 三个条件 一个条件 （1）有一条边对应相等的三角形 （2）有一个角对应相等的三角形 (1) 三角形的三个角对应相等。 (3) 三角形的一条边和两个角对应相等。 (4) 三角形的三条边对应相等。 (2) 三角形的两条边和一个角对应相等。 思考： 基本概念界定与理解 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足一边或一角分别相等. 你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 一条边相等 一个角相等 A A B B C C A' A' B ' B ' C' C' 合作探究 两个条件 （1) 三角形的一个角 ,一条边对应相等 （2）三角形的两条边对应相等 （3）三角形的两个角对应相等 只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等. （1）有一条边对应相等的三角形 （2）有一个角对应相等的三角形 通过刚才研究的实例，你发现了什么结论？ 一个条件 基本概念界定与理解 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足两边、一边一角或两角分别相等. 你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 两边相等 两角相等 一边及一角相等 A B C A' B' C' A B C A' B' C' A B C A' B' C' 合作探究 基本概念界定与理解 (1) 三角形的三个角对应相等。 三个条件 (3) 三角形的一条边和两个角对应相等。 (4) 三角形的三条边对应相等。 (2) 三角形的两条边和一个角对应相等。 那么三个条件行不行呢？我们来分情况讨论。 基本概念界定与理解 Powerpoint Design 第二部分 性质与判定定理 画出△ABC和△A'B'C'，使其满足有三个相等条件，有几种可能的情况呢？ _____________________________________________________________ 每种情况都能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？ ①三个角； ②三条边； ③两边一角. ④两角一边 合作探究 两边一角对应相等 两边夹角对应相等 （边角边） 两边一对角对应相等 （边边角） 若同样给出三个条件时(已知两边一角)，两个三角形全等吗？ 分类讨论： 例1：先任意画一个△ABC，再画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’= ∠A，AC=A’C’，(即使有两边和它们的夹角对应相等)，把画好的△A’B’C’ 剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 做一做 大家一起做下面的实验： C A A’ B C’ B’ 画一个△A’B’C’， 使A’B’=AB， A’C’=AC， ∠A’= ∠A ； 1、画∠DA’E= ∠A ； 2、在射线A’D上截取A’B’=AB，在 射线A’E上截取A’C’=AC； 3、连接线段B’C’； 步骤如下： 大家一起做下面的实验： 做一做反应了什么规律？ 两边和它们的夹角对应相等的 两 个三角形全等(可简写成SAS) 你能写出它的符号语言吗？ 例2 如图有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D,使CA=CD；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长就是A、B的距离，为什么？ 分析：如果能证明△ABC≌ △DEC，就可以得到AB____DE = 在△ABC与△DEC中，CA=CD，CB=CE， ∠1= ∠2 △ABC≌ △DEC还差一个条件是： _________________ 例3：练一练: 在下列三角形中,哪两个三角形全等? 40° 4 4 30° 4 4 4 5 30° 4 5 30° 4 6 40° 4 6 40° ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 解:全等的三角形有:⑴和⑷, ⑶和⑸. 例4：已知：如图， AB=AD ，∠BAC= ∠DAC △ABC 和△ADC 全等吗？ 分析: △ ABC ≌△ ADC 边: 角: 边: AB=AD(已知) ∠BAC=∠DAC (已知) ？ B C D (SAS) AC=AC(公共边) A B C D O 例5：如图,AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明△AOB≌△COD的理由。 注意: 要充分利用图形中“对顶角相等”这个条件. 例6：如图：AB=AC，AD=AE，△ABE和△ACD全等吗？请说明理由。 A E D C B 注意: 要充分利用图形中“公共角”这个条件. 你还能得到哪些相等的线段?说明理由. 思考一下： 我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？ 可以通过画图来回答，还可以通过实验来回答 把一长一短的两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来。 动动手 两边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？ 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画， 你发现了什么？ 做一做 A B C D E F 2.5cm 3.5cm 40° 40° 3.5cm 2.5cm 结论：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等. 先画一个40°的角,然后在其中一边上取3.5厘米,最后画40°的角所对的边2.5厘米. 两边一角对应相等 两边夹角对应相等（边角边） 两边一对角对应相等（边边角） × √ Powerpoint Design 第三部分 习题演练 1、如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D A D C B F E 课堂检测 ∵点E、F在BC上，BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF 即BF=CE ∴ AB=DC ∠B=∠C BF=CE ∴△ABF≌△DCE(SAS) . ∴∠A=∠D.(对应角相等) 分析：根据已知，求得BF=CE ，利用SAS 判定△ABF≌△DCE，从而得到∠A=∠D. 证明： 2、如图，两车从路段AB的一端A出发，分别向东，向西行进相同的距离，到达C、D两地，此时C、D到B的距离相等吗？为什么？ D C B 课堂检测 ∵∠DAB=∠CAB=90°且AD=AC ∴ 在△ABD和△ABC中 AD=AC ∠DAB=∠CAB AB=AB， ∴△ABD≌△ABC（SAS） ∴AD=AC(对应边相等) 故C、D到B的距离相等 A 分析：由于路段AB在南北方向上，DC在东西方向上，因此AB垂直于DC。两车从A端分别向东、向西行进相同的距离，到达C、D两地，所以AD=AC，利用SAS 判定△ABD≌△ABC，从而得到BD=BC. 证明： 课堂检测 3.某校八年级一班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离。设计了如下方案：如图，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连结AC、BC并分别延长AC至D，使DC=AC，EC=BC，最后测得DE的距离即为AB的长.你认为这种方法是否可行？ C · A D E B 分析：如果能证明△ABC≌ △DEC，就可以得到AB=DE ∵在△ABC和△DEC中 ∴ AC=DC ? BC=EC ∴△ABC≌△DCE(SAS) . ∴DE=AB.(对应边相等) ∠ACB=∠DCE(对顶角相等) 证明： Powerpoint Design 第四部分 汇总及课后作业 三角形全等的判定 分类 探讨 SAS SSA 应用 只满足一个条件或者两个条件时不能判定三角形全等 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 两边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 利用“SAS”解决实际问题 课堂小结 基本概念界定与理解 ①分析已有条件,准备所缺条件： 证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论 全等三角形证明的基本步骤： 方法总结 1.自主盘点：结合“知识复盘表”，梳理一下，本节课你学会了什么知识和数学思想方法？你对这节课的内容还有什么疑惑吗？你还有什么心得体会？ 2.学生分享： 智汇展评，成果互鉴 【必做题】 1.完成课后习题。 2.完成练习册：《2.2三角形全等判定》相关题目 课后作业 1．已知：如图，点A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE,∠A=∠D. (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)判断线段BC与EF满足的数量关系和位置关系，并给出证明． (2) 由(1)可得△ABC≌△DEF ∴ BC=EF，∠ACB=∠DFE 又∵∠ACB+∠BCF=180° ∠DFE+∠EFC=180° ∴ ∠BCF=∠EFC（等量代换） ∴BC//EF(同位角相等，两直线平行) 故线段BC与EF相等且平行 【选做题】 (1)∵点C、F在AD上，AF=DC AC+CF=DF+FC ∴ AC=DF （等量代换） ∴ 在△ABC和△DEF中 AB=DE ∠A=∠D AC=DF ∴△ABC≌△DEF(SAS) . 分析：（1）根据已知,求得AC=DF,利用SAS判定△ABC≌△DEF.（2）利用全等三角形的性质,可知BC=EF，∠ACB=∠DFE，再利用∠BCF=∠EFC 同位角相等，两直线平行 证明： 2．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，且AD=BC,BE=AC．连接DC,EC．求证：△ADC≌△BCE ．   【选做题】 分析：1.平行线的性质：求∠A = ∠B 2.根据SAS（边角边）全等判定定理，可以得出△ADC ≌ △BCE。 ∵AD∥BE ∴ ∠A=∠B （两直线平行，内错角相等） ∴ 在△ADC和△BCE中 AD=BC ∠A=∠B BE=AC ∴△ADC≌△BCE(SAS) . 证明： 【选做题】 3．已知：如图，点E在边CD上，BC与AE交于点F，AB=CB,BE=BD,∠1=∠2. (1)求证：△ABE≌△CBD; (2)若AE=8,CE=5,求ED的长。 分析： 1.根据等式的性质，两边同时加上∠CBE，得到： ∠ABE=∠CBD2.根据SAS（边角边）全等判定定理，可以得出△ABE≌△CBD 。 (1)∵∠1 = ∠2 ∴ ∠1+∠CBE=∠2+∠CBE ∴ ∠ABE=∠CBD（等量代换） ∴ 在△ABE和△CBD中 AB = CB（已知） ∠ABE = ∠CBD（已证） BE = BD（已知） ∴△ABE≌△CBD(SAS) . (2) 由(1)可得△ABC≌△DEF ∴ AE=CD=8 又∵CE=5 CE+DE=CD ∴ DE=8-5=3（等量代换） 故线段ED的长为3. 证明： 【选做题】 4．如图，在△ABC中，∠ACB=,AC=BC,延长AB至点D连接CD,以CD为直角边作等腰直角三角形△CDE,其中∠DCE=,连接BE. (1)若AD=3cm,求BE的长;(2)BE与AD有何位置关系？请说明理由． 分析：1.利用△ACB和△DCE都是等腰直角三角形得到：CD=CE,CA=CB，∠ECB=∠ACD. 2.根据SAS（边角边）全等判定定理，可以得出△ACD≌△BCE. 3.利用三角形全等可得到∠A=∠CBE,根据三角形内角和定理可得，∠A+∠ABC=90°,∠CBE+∠ABC=90°,所以BE ⊥ AD (1)∵ △ACB和△DCE都是等腰直角三角形 ∴ CD = CE，CA = CB ∵ ∠ACB = 90°，∠DCE = 90° ∴ ∠ECD + ∠DCB = ∠DCB + ∠ACB 即 ∠ECB = ∠ACD（等量代换） ∴ 在△ACD和△BCE中： CD=CE ∠ACD=∠BCE CA=CB ​∴ △ACD ≌ △BCE（SAS） ∴ AD = BE（全等三角形对应边相等） (2) 由(1)可得△ACD ≌ △BCE ∴ ∠A=∠CBE ∵△ACB是等腰直角三角形 ∴∠A+∠ABC=90°, ∴∠CBE+∠ABC=∠ABE=90° （三角形内角和定理） ∴ BE ⊥ AD 故线段BE与AD相互垂直。 证明： Powerpoint Design 2026.8 汇报人： 谢谢大家 时间： 主讲人： $