2.2三角形全等的判定（第1课时SAS）（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 2.2三角形全等的判定 第二章 全等三角形 第1课时 两边及夹角判定全等（SAS） 章节导读 2.1全等三角形 2.1三角形全等的判定 2.3尺规作图 定义 性质 三边相等判定全等 基本作图的意义与实践 两边及夹角判定全等 两角及一边判定全等 斜边及一条直角边判定直角三角形全等 平行线与垂线的作法 学 习 目 标 1 2 能准确说出“边角边（SAS）”判定定理内容 能在例题中找出对应“两边及夹角”，用SAS规范证明三角形全等 3 能依据全等三角形对应边相等解决实际问题，并区分“夹角”与“对角” 情境导入 🎯 从“古埃及测量术”到“边角边判定”——尼罗河的土地重划智慧 📜 4000年前的测量难题 每年尼罗河泛滥后，古埃及人的农田边界都会被冲毁。 潮水退后，如何快速画出与原来“完全一样”的三角形土地，确保每家每户的土地大小不变？ ❓ 思考： 如果你来当测量员，手里只有绳子（测长度）和木棍（测角度） 你会测量哪些数据来“复制”原来的三角形土地？ 情境导入 从“古埃及测量术”到“边角边判定”——尼罗河的土地重划智慧 🎯 🧠 古埃及测量员的发现 他们只需记录两个数据： ✅ 两边长度：30腕尺和40腕尺 ✅ 两边夹角：60° 就能画出与原来完全重合的三角形土地！ 🔍 数学追问： 为什么“两条边及其夹角”确定后，三角形的形状和大小就唯一确定了？ 下面，我们就从 “全等三角形判定”出发，探索土地重划后蕴含的智慧 30脘尺 40脘尺 60° 探索判定条件——从“六要素”到“最少条件” 🔑 📜 回顾：全等的“完整密码” 上节课我们知道： 若△ABC与△A'B'C’的 “三条边对应相等”（AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'） “三个角对应相等”（∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'） 则△ABC ≌ △A'B'C'（完全重合） ❓ 测量难题 但在度量时，很难同时测量6个数据 能否用 **更少的条件** 判定两个三角形全等？ A B A` B` C C` 三边 三角 新知探究 新知探究 🎯 🔍 **最少需要几个条件？** 1. 若只测1对元素，能确定三角形全等吗？ 📏在这两个三角形中，有一边是相等的 📐但很显然，他们的形状不一样 🚫因此，只有一边相等的两个三角形不全等 📚在这两个三角形中，有一对角是相等的 📐这但很显然，他们的形状、大小都不一样 🚫因此，只有一对角相等的两个三角形不全等 动态验证——一对元素≠全等（反例演示） 新知探究 🎯 动态验证——两对元素≠全等（反例演示） 2. 若只测两对元素，能确定三角形全等吗？ 📏在这两个三角形中，有两个角是相等的 📐但很显然，他们的大小不一样 🚫因此，只有两个角相等的两个三角形不全等 📏在这两个三角形中，有两条边是相等的 ��但很显然，他们的形状不一样 🚫因此，只有两条边相等的两个三角形不全等 📏在这两个三角形中，有一个角和一条边条边是相等的 📐但很显然，他们的形状和大小都不一样 🚫因此，只有一条边和一个角相等的两个三角形不全等 新知探究 🎯 归纳过渡——3对元素的分类探究 ❌ 通过以上的探究我们知道，无论是一对元素还是两对元素，都无法说明两个三角形全等 🔍若是确定三对元素，能否说明两个三角形全等？我们先来看看，三对元素都有哪些情况？ ① 三边对应相等 → ？ ② 三角对应相等 → ？ ③ 两边及其夹角对应相等 → ✅ ④ 两角一边对应相等 → ？ 3对元素中，‘两边及其夹角’是古埃及人验证过的有效方法——今天我们就来破解这个‘边角边密码’！ 后续探究 相似≠全等，快速排除 古埃及测量法！ 后续探究 验证“边角边”判定——古埃及土地的重合验证 新知探究 🎯 📝已知：在△ABC和△A`B`C`中，AB=A`B`，BC=B`C`，∠B=∠B`，△ABC和△A`B`C`相等吗？ A B C A` B` C` ✍ 【证明】 因为 BC=B'C'（已知） 所以将△ABC移至△A'B'C'上，使BC与B'C'重合，点B与点B'重合。 所以BA与B'A'方向一致，射线BA与射线B'A'重合 因为 ∠B=∠B'（已知）， 所以点A与点A'重合，AC与A'C'重合。 因为 AB=A'B'（已知） 所以△ABC与△A‘B’C‘ 完全重合，△ABC ≌ △A'B'C'。 （全等三角形定义） 知识小结 🎯 边角边（SAS）判定定理 A B C A` B` C` 📋基本事实 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 （简记为‘边角边’或‘SAS’） 🔢符号语言： 在△ABC和△A'B'C'中 所以 △ABC ≌ △A'B'C'（SAS） 例题讲解 🎯 池塘两端距离测量——SAS定理的实际应用 例1 A、B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想测量A、B两点之间的距离。他设计了一个方案：先在平地上取一个能够直接到达点A、B的点C，连接AC，在射线AC上取一点D，使CD＝CA；连接BC，在射线BC上取一点E，使CE＝CB。测量DE的长，则DE的长就是A、B两点之间的距离。他的方案是否正确？为什么？ 【解】 A B C D E 他的方案正确。理由如下： 在△ACB和△DCE中， 所以△ACB≌△DCE（SAS，边角边全等判定） 因此，AB＝DE（全等三角形的对应边相等） CA=CD, ∠ACB=∠DCE(对顶角相等), CB=CE,​ 解题技巧 本题的核心是通过构造全等三角形，将“不可直接测量的线段（AB）”转化为“可直接测量的线段（DE） 新知探究 🎯 SSA能判定全等吗？——反例验证 如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，这两个三角形全等吗？ 如图，已知△ABC，以A为圆心，AC长为半径向△ABC内部作弧，交BC于点C₁，连接AC₁ A B C C₁  在△ABC和△ABC₁中AC = AC₁； AB = AB；  ∠B = ∠B 【解】 但△ABC与△ABC₁不全等 所以两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等 SSA不能判定全等的原因： 当两边及其中一边的对角相等时，三角形的形状不唯一 知识补充 13 即时训练 🎯 题型一：“SAS”的定义识别 1.下列说法正确的是（ ） 两边及一角对应相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 C. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 【解析】 A.“两边及一角”未明确“夹角”，若为“对角”（SSA），则不一定全等 B.这是“边角边（SAS）”判定定理的准确表述。B正确 C.这是“SSA”条件，由于该条件下的两个三角形形状可能不唯一，因此不一定全等 D.“三个角相等”只能判定相似，无法判定全等 知识补充 三角形全等的判定定理一： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 （‘SAS’或“边角边”） 即时训练 🎯 题型二：利用SAS判定全等证明角相等 2.如图，已知线段AC、BD相交于O，OA=OD，OB=OC.求证：∠B=∠C A B C D O 【证明】  在△AOB与△DOC中 ​OA=OD(已知), ∠AOB=∠DOC(对顶角相等), OB=OC（已知） 所以 △AOB≌△DOC（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等） 解题技巧 解决此题的关键是挖隐含条件：相交线中的对顶角相等 常见的隐藏条件还有公共角、公共边等 即时训练 题型三：直角背景下的SAS全等证明 🎯 3.如图，已知： 点D、B在线段AE上，AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠E=90° 求证：△ABC ≌ △DEF A B C D E F 【证明】 在△ADC和△DEF中， AB=DE(已知) ∠ABC=∠E（已知） BC=EF（已知） 所以△ABC ≌ △DEF（SAS） 解题技巧 在证明两个三角形全等时，要用将条件写在“{”之后，这不仅是规范的而书写形式，更能让证明所用的条件一目了然 课堂练习 “SAS”应用——公角问题 🎯 因为 D是AB的中点，E是AC的中点（已知） 所以AD = ½AB，AE = ½AC（中点的定义） 因为 AB=AC（已知） 所以AD = AE（等式性质） 在△ABE和△ACD中， AB=AC(已知) ∠A=∠A(公共角) 1.如图，已知，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点 求证：△ABE≌△ACD 【证明】 AE=AD(已知) 所以△ABE≌△ACD(SAS) A B C D E 解题技巧 公共角的利用：  两个三角形共有的角是天然的相等角，无需额外证明，直接作为SAS的“夹角”条件 17 课堂练习 🎯 2.如图，已知，AB=AD，∠1=∠2，AC=AE 求证：BC=DE 【证明】 角的和差转化与SAS全等证明 因为 ∠1=∠2（已知） 所以 ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC（等式性质） 即 ∠BAC = ∠DAE（角的和差定义） A B C D E 1 2 在△ABC和△ADE中， AB=AD(已知), ∠BAC=∠DAE(已证) AC=AE(已知), 所以 △ABC ≌ △ADE（SAS） 解题技巧 角的转化方法：  当已知角不是直接的夹角时，可通过角的和差（加/减公共角或相等角）转化为所需的夹角 课堂总结 📜 核心知识 SAS判定定理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 数学语言： AB=A'B', ∠B=∠B', BC=B'C' ⇒ △ABC≌△A'B'C' 核心辨析： SSA不能判定全等 两边及其中一边的对角相等 → 三角形形状不唯一 A B C A` B` C` 感谢聆听! $$