山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第20章 定差幂线定理

第20章 定差幂线定理 定差幂线定理 若直线 线段 于 ， 与 为 上两点，则 (*) 反之，若式(*)成立，则 所在的直线 ． 证法1 （参见第5章例3） 证法2 如图20-1，以线段 的中点为原点，中垂线为 轴建立平面直角坐标系．并设 ， ， ，其中 ，则 （定值） （常数）． 所以，点 的轨迹是一条垂直于 的直线． 证法3 因 上线段 ，则由勾股定理得 ， 两式相减得 ① 同理可得 ② 由①，②得 反过来，可设 ，则 ， 故 j 又 则 即 从而 得 ，又 ，则 ．故直线 线段 ． 由定理，我们不难得到如下几个推论： 推论1 已知两点 和 ，则满足 （ 为常数）的点 的轨迹，是垂直于 的一条直线 （其中若设 交 于 ，则 ）． 推论1所述的轨迹称为定差幂线，是一个常见的轨迹，此处不再叙述其证明． 推论2 （施坦纳定理）由 所在平面上的点 ， ， 分别向边 ， ， 引的垂线共点的充分必要条件是 证明 必要性：设自点 ， ， 分别向边 ， ， 引垂线相交于一点 ，垂足依次为 ， ， ，如图20-2，由定理得 即 ① 同理可得 ② ③ ① ② ③，得 即 充分性：设点 是 ， 分别向 ， 引的垂线之交点，则有 ④ ⑤ ④ ⑤可得 ⑥ 将式⑥代入已知条件 可得 由推论1可知，点 在过点 向 引的垂线上，也就是过 ， ， ，分别向 ， ， 引的三条垂线共点． 推论3 给定 ， 是任一点， ， ， 各是 、 、 的等角线，则 、 、 三线共点或相互平行． 证明 如图20-3，作 于 ，作 于 ，作 于 ，联结 ， ， ．显然， 是 外接圆的直径，而 是 的等角线，从而 ． 同理 ， ． 令 、 、 与 、 、 的垂足分别为 、 、 ，则由定差幂线定理，有 ， ， ． 由推论2，知上述三式右端的和等于0．于是， ． （*） 若 、 、 三点共线，则 若 、 、 三点不共线，则由(*)式注意推论2知 、 、 交于一点． 推论4 （正交三角形定理）给定 和 ，如果从 ， ， ，分别向 ， ， 所在直线引的三条垂线共点，则从 ， ， 分别向 ， ， 所在直线引的三条垂线亦共点． 证明 如图20-4，设 ， ， 三条垂线相交于一点 ，则依推论2，有 ⑦ 式⑦表明，由 ， ， 分别向 ， ， 所在直线引的三条垂线亦共点． 下面给出上述定理及推论应用的例子