山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第19章 平行线分线段成比例定理

第19章 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．反之亦真． 上述定理中的对应线段是指一条直线被三条平行直线截得的线段与另一条直线被这三条平行直线截得的线段对应，对应线段成比例是指同一直线上两条线段的比（部分与部分之比或部分与整体之比）等于另一条直线上与它们对应的线段的比． 定理中的两条直线可以是平行的，也可以是相交的．若是相交的，且交点在三条平行线中的一条上时，则有如下推论： 推论1 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，反之亦真． 若称经过一点的若干直线为一直线束，则由推论1，有如下推论： 推论2 一直线束截两条平行线，所得的对应线段成比例． 此时，成比例的线段在乎行的直线上，与推论1中成比例的线段在非平行的直线上要区别清楚． 推论3 若一直线束中的直线 、 、 上的点 、 、 、 、 、 满足 ， ，则 ． 上述定理及推论在术解某些含有平行线条件（或隐含有平行线条件）的问题时是很方便的．下面从两方面列举一些例子以说明之． 1．充分利用题设条件中的平行线条件 例1 （2007年全国初中联赛题）如图19-1，四边形 是梯形，点 是上底边 上一点， 的延长线与 的延长线交于点 ．过点 作 的平行线交 的延长线于点 ， 与 交于点 ．证明： ． 证明 设 与 交于点 ，则由推论1， 注意到 ，有 ． ① 注意到 ，有 ． ② 由① ②得 ．于是由推论1的逆定理知 ． 延长 、 交于点 ，则 ， ．从而 ． 例2 设凸四边形 的对角线 、 的交点为 ，过点 作 的平行线分别交 、 于点 、 ，交 的延长线于点 ， 是以 为圆心，以 为半径的圆上一点如图19-2所示．求证： ． 证明 如图19-2，延长 、 交于点 ，则由推论2， 注意到 ，有 ． 注意到 ，有 ． 于是 ，即 ． 亦即 ．从而 ． 故 ． 例3 如图19-3，梯形 中，对角线 和腰 相等， 是底 的中点， 是腰 的延长线上的点， 交 于 ．求证： ． 证明 设 交 于 ，延长 交 于 ，延长 、 交于点 ，则由推论2． 注意到 ，有 ． 注意到 ，有 ． 于是 ．而 ，则 ． 又由题设 ，有 ． 从而 ，故 ． 例4 （2005年全国初中联赛B卷题）在锐角 中， ， 、 分别是边 、 上的高， 与 的延长线交于