山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第18章 圆中的极点、极线

第18章 圆中的极点、极线 在平面解析几何中，介绍了如下直线方程的几何意义： 对于一已知点 和一已知圆 ： ，直线 的方程 （*） 的几何意义有如下3种情形： 当点 在圆 上时，方程(*)表示为经过点 的圆的切线，切点为 ． 当点 在圆 的外部时，方程(*)表示为过点 的两条切线的切点弦直线．点 在切点弦的中垂线上． 当点 在圆 的内部，且 不为圆心时，方程(*)表示为过点 的对应点（即以点 为中点的弦端点的两条切线的交点 ），且与以 为中点的弦平行的直线． 为了讨论问题的方便，对于上述三种情况，统称点 与对应的直线 为关于圆 的极点与极线（可推广到圆锥曲线）． 事实上，如图18-1，点 、 为一双对应点，且满足条件： ． 注：满足条件 （ 为圆心， 为圆的半径）的点的变换，称为反演变换． 因此，一般地，有 定义1 设 是平面上一个定圆（半径为 ），点 、 为满足条件 的对应点（或反点），则过点 且垂直于 的直线 称为点 关于 的极线，点 称为直线 关于 的极点． 显然，对于平面上不过圆心 的直线 关于 的极点是圆心 在直线 上的射影关于 的对应点（反点）． 由定义1可以看出，给定了平面上的一个圆，除圆心外，平面上每一点都有唯一确定的极线；除过圆心的直线外，平面上每一条直线都有唯一确定的极点．因而极点与极线是平面上除圆心以外的点与平面上除过圆心的直线以外的直线间的一个一一对应关系． 在普通平面上，圆心没有极线，过圆心的直线没有极点． 由此亦可知，当点 在 上时，点 的极线就是 在 的切线，切线的极点就是切点；当点 在 外时，点 的极线就是过点 所引 的两条切线的切点弦直线；与 相交的直线的极点就是 在交点处的两条切线的交点；当点 在 内且不为圆心时，点 的极线在圆外，是过点 的对应点（反点） ，且与以 为中点的弦平行的直线； 外的直线 的极点可以这样得到：过 作 于 ，过 作 的两条切线得切点 、 ，切点弦 的中点 即为直线 的极点． 于是，我们有 性质1 设 、 两点关于 的极线分别为 ， ，若点 在直线 上，则点 在直线 上． 证明 如图18-2，若 、 是 的两个互反点，则结论显然成立．若 、 不是 的两个互反点，由于点 在点 的极线 上，因而 、 、 三点不共线． 设 、 关于 的反点分别为 、 ，则由 ，知 、 、 、 四点共圆． 由于点 在直线