山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第17章 投影多边形 等角共轭点

第17章 投影多边形 等角共轭点 定义1 从平面上一点 向凸多边形各边作垂线，以各垂足为顶点的多边形称为投影多边形． 如三角形三条高线的垂足作为顶点的三角形，就是垂心的投影三角形（常称为垂心的垂足三角形）． 性质1 若点 关于 的投影三角形是 EMBED Equation.DSMT4 ． (1)当 是 的内心或旁心时， 是 EMBED Equation.DSMT4 的外心． (2)当 是 的外心时， 是 EMBED Equation.DSMT4 的垂心． (3)当 是 的垂心时，若 是锐角三角形， 是 EMBED Equation.DSMT4 的内心；若 是钝角三角形， 是 EMBED Equation.DSMT4 的旁心． 证明 只证(3)中 是钝角三角形的情形，如图17-1， 是钝角， 是 的垂心，则 在 和 EMBED Equation.DSMT4 的外部，在 的内部，易证 故 是 EMBED Equation.DSMT4 的旁心． 性质2 一点 的投影三角形的面积，与点 关于外接圆的幂成比例． 证明 如图17-2，点 在 EMBED Equation.DSMT4 的边 、 、 上的投影分别为 、 、 ，联结 并延长 EMBED Equation.DSMT4 的外接圆 于点 ．则 ，又 ，从而 ． 于是， （其中 为 半径） ． （注意到 ）． 注：性质2常称为施坦纳(Steiner)定理． 推论1 投影三角形的面积为一定的点的轨迹，是一个与三角形外接圆同心的圆．在外接圆内的点，外心的投影三角形面积最大． 推论2 三角形外接圆上的点的投影三角形面积为零． 推论3 一点 的投影点外接圆的半径 ． 事实上，由 及 等三式即得． 推论4 EMBED Equation.DSMT4 的外心 的投影三角形面积 ． 事实上，由 即得． 推论5 EMBED Equation.DSMT4 的内心 的投影三角形面积 ． 事实上，由 即得． 推论6 EMBED Equation.DSMT4 的重心 的投影三角形面积 ． 事实上，由 即得． 推论7 EMBED Equation.DSMT4 的垂心 的投影三角形面积 ． 事实上，由 即得． 推论8 EMBED Equation.DSMT4 的九点圆圆心 的投影三角形面