山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第16章 调和四边形

第16章 调和四边形 我们称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形． 本章我们介绍调和四边形的一些有趣性质及应用的例子． 性质1 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是对顶点处的两条切线与另一对顶点的对角线所在直线三线平行或三线共点． 证明 当圆内接四边形为筝形时，如图16-1(1)， ， 时，对角线 必过圆心，此时，过 、 的两条切线，对角线 均与 垂直，因而它们相互平行． 当圆内接四边形不为筝形时，如图16-1(2)，设点 是对顶点 ， 处两条切线的交点． 充分性，当点 在直线 上时，则由 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 有 ， 故 ． 必要性．当 时，由正弦定理， 有 ． 联 交 于点 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ， 则 ． 此时， ． 对 EMBED Equation.DSMT4 应用塞瓦定理的逆定理，知 ， ， 三线共点． 故过 、 处的两切线，直线 共点于 ． 注：此性质提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形如 EMBED Equation.DSMT4 ，或 EMBED Equation.DSMT4 ，再得到交点 ，最后作切线或割线确定点 或点 ． 性质2 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是过一顶点且与四边形的对角线平行的直线交圆于一点，这交点、对角线的中点、该顶点的对顶点三点共线． 证明 如图16-2，设 为圆内接四边形，过 作 交圆于 ， 为 的中点．由 知四边形 为等腰梯形，此时， ， ．注意到 与 互补， 则 直线 过 的中点 、 、 三点共线． 注：此性质也提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形，如 EMBED Equation.DSMT4 ，过 作 交圆于点 ，过点 、 的中点 的直线交圆于点 ，则四边形 即为调和四边形． 性质3 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是相对的角的平分线的交点在另一对顶点的对角线上． 证明 如图16-3，设 为圆内接四边形． 充分性．设 的平分线与 的平分线的交点 在对角线 上，则由角平分线的性质