山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第15章 调和点列

第15章 调和点列 设两点 、 内分与外分同一线段 成同一比例，即 ，则称点 和 调和分割线段 ，或称点 是点 关于线段 的调和共轭点，亦称点列 、 ， 、 为调和点列，若从直线 一点 引射线 、 、 、 ，则称线束 、 、 、 为调和线束．调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质． ~③ 性质l 设 、 、 、 是共线四点，点 是线段 的中点，则 、 调和分割线段 的充要条件是满足下述六个条件之一： （1）点 、 调和分割 ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 证明（1） 、 调和分割 ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 性质2 设 、 、 、 是共线四点，过共点直线外一点 引射线 、 、 、 ，则 、 调和分割线段 的充要条件是满足下述两个条件之一： （1）线束 、 、 、 其中一射线的任一平行线被其他三条射线截出相等的两线段； （2）另一直线 分别交射线 、 、 、 于点 、 、 、 时，点 、 调和分割线段 ． 证明（1）如图15-2，不失一般性，设过点 作 交射线 于 ，交射线 于 ． 注意 ，有 EMBED Equation.DSMT4 ． （2）如图15-2，不失一般性，设过点 作 交射线 于 ，交射线 于 ，则 ． 为 的中点 注意 ，知 为 的中点 、 调和分裂线段 ． 推论l 梯形的两腰延长线的交点，两对角线的交点，调和分割两底中点的联线段， 证明 如图15-3，在梯形 中， ， 是两腰延长线的交点， 是两对角线的交点，联结 并延长交 于 ，交 于 ，则 ， ，即 ， ．此两式相乘，相除得 ， ，即 ， ，亦即 、 分别为 、 的中点． 联结 ，则对线束 、 、 、 来说， 且 ，则由性质2（1）知 、 调和分割线段 ．（当然也可由 而证．） 推论2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割． 此即为第14章中的性质2，下面另证如下． 证明 如图15-4，在完全四边形 中， 、 、 是其三条对角线，设直线 交 于 ，交 于 ．若 ，则由推论1知，点 、 调和分割线段 ．若 ，如图15-4，设直线 与直线 交于点 ．联结 ，过点 作直线 交 于 ，交 于 ，交 于 ， 交 于 ，则分别在 、 、 中，有 ， ， ． 于是 ，从而 ． 又过点 作 交 于 ，则 ．联结 并延长交