3.1 相似多边形 随堂练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形 随堂练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为，在一张比例尺为的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）的长度 A．一根火柴 B．一根筷子 C．一支钢笔 D．一支铅笔 3．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A． B． C． D． 4．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个五边形 5．如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 6．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 7．如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为，宽为，若图中b的长度为，为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似，则图中a的长度应为（    ） A． B． C． D． 8．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 二、填空题 9．甲、乙两地在地图上距离约为5厘米，地图的比例尺为1：1000000，则甲、乙两地的实际距离约为________千米． 10．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    11．将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是____________.（剪法不止一种） 12．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为_________，AE的最小值为________． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，，将其顶点的坐标缩小为原来的，画出得到的四边形．并判断这两个四边形是位似图形吗？若是，四边形与四边形的相似比是多少？ 14．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 15．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 16．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C C B D D 1．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 【详解】解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． 2．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：∵， 根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是：． 大约相当于一支铅笔的长度． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个四边形的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形四边形，且相似比， ∴面积比为：， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 7．【答案】D 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似图形的性质．根据相似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似， ∴， 解得：， 即图中a的长度应为． 故选：D． 8．【答案】D 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 9．【答案】50 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例尺=图上距离实际距离，即可得出结论． 【详解】根据题意得甲、乙两地的实际距离约为： ， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了比例尺，正确运用公式是解题的关键． 10．【答案】 【知识点】相似多边形 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 11．【答案】或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， 则； 如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 12．【答案】 2 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、半圆（直径）所对的圆周角是直角、成比例线段 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求CG；当AC=BC时，可知，代入数据即可求解． 圆周角定理可知， 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵G是EF的中点， ∴CG=． 当AC=BC时，此时AE=BF最小，如图， 则CE=CF，AC=BC= ∴ ∴EF∥AB， ∴ 即 解得CE=， ∴AE=， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握这些定理和性质． 13．【答案】四边形与四边形是位似图形，位似比为． 【知识点】相似多边形的性质、求位似图形的对应坐标 【分析】根据坐标与图形性质画出符合条件的四边形，将点的横坐标、纵坐标都缩小为原数的，得到点 再连接，即可得到所求作的图形，接着由勾股定理结合位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求作的四边形， 四边形与四边形是位似图形，理由如下： 根据题意得：， 由勾股定理得， 又 四边形与四边形是点O为位似中心的位似图形，位似比为． 【点睛】本题考查位似变换，涉及勾股定理等知识，掌握位似图形的概念、位似比的概念是解题关键． 14．【答案】(1)， (2) 【知识点】比例的性质、成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 15．【答案】 解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 【详解】略 16．【答案】(1)不相似 (2) 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $