3.1 相似多边形 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** “3.1相似多边形”同步练习聚焦概念理解与应用，分层梯度明晰，覆盖相似多边形定义、性质、判定及实际应用，适配新授课基础巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念辨析与简单计算|如单选1（内角性质）、4（等边三角形相似判定），巩固相似基本属性| |中档|综合应用与性质拓展|如填空13（动态相似）、解答18（菱形相似证明），强化推理与运算能力| |提高|探究性问题与跨情境应用|如解答19（展板设计）、21（A4/A5纸相似探究），发展模型意识与创新思维|

3.1相似多边形同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 2．若四边形 四边形，且，已知，则的长是（ ） A．25 B．9 C．20 D．15 3．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 4．下列图形一定相似的是 (　　) A.两个直角三角形　　　　　　　　　B.两个等腰三角形 C.两个等边三角形　　　　　　　　　D.两个菱形 5．下列命题中，是真命题的是（ ） A. 边数相同的两个多边形相似 B. 对应边成比例的两个多边形相似 C. 边数相同、周长相等且对应角相等的两个多边形相似 D. 边数相同的两个正多边形相似 6．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 7．下列说法错误的是（ ） A. 相似多边形的对应边成比例 B. 相似多边形的对应角相等 C. 相似多边形的边数相同 D. 所有的矩形都相似 8．［2024湖南长沙雨花区校级期末］将一片树叶放大，假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点坐标为，变化后得到对应点坐标为，则变化后树叶的面积变为原来的（ ） A. 300倍 B. 3 000倍 C. 9 000倍 D. 90 000倍 9．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，矩形被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形 矩形，那么的值为  . 12．如图，已知梯形中，，分别是腰，上的点，，如果，那么______. 13．如图，已知矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，分别从，两点同时出发，均以的速度分别沿，向，两点运动，求当点，运动多长时间时，矩形与矩形相似. 14．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 15．如图，矩形中，为较长边，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则  . 16．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题） 17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值 18．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 ∶2，连接EB，GD． (1)求证:EB=GD． (2)若∠DAB=60°，AB=2，求GD的长. 19．综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长： 组员： ， ， 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为 版面规划 用矩形表示整张板. 展板一：如图（1），在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域. 展板二：如图（2），在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为 图（1） 图（2） 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1） 根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形 矩形），求的值； （2） 根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形 矩形），则的值为______. 20．已知矩形,且,. 图（1） 图（2） （1） 如图（1），若将矩形对折后展开,折痕为,矩形与矩形相似，求的长； （2） 如图（2），若，剪去一个矩形后，余下的矩形与矩形相似，求矩形的面积. 21．如图(1)，将一张A4纸折叠两次，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合.如图(2)，将一张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得到两张A5纸. (1)A4纸较长边与较短边的比为　　　　.  (2)A4纸与A5纸是否为相似形?请说明理由. 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B C D C D D A B 11． 14． 15． 16．/ 17． 18．(1)【证明】∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，AE=AG，AB=AD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD.∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD. (2)【解】如图，连接BD交AC于点P，则BP⊥AC. ∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°. ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 ∶2，AB=2，∴AE= ，BP= AB=1，∴AP= = ，∴EP=AE+AP=2 ， ∴EB= = = ， ∴GD= . 19．（1）由题意得，. 矩形 矩形，.，，，解得. 答：的值为20. （2） 矩形 矩形，，.，，.由题图（2）可得，，,整理得，，故答案为. 20．（1）由题意得， 矩形与矩形相似，，，即，（负值已舍去）. （2） 矩形与矩形相似，.，，， 矩形的面积为. 21．(1)如图，由折叠过程可知，第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为其对角线，由勾股定理可得BC=AB;第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合，∴较长边为AB，∴A4纸较长边与较短边的比为∶1.故答案为∶1. (2)A4纸与A5纸是相似形.理由: ∵A4纸较长边与较短边的比为∶1，∴设A4纸较短边的长为a，则较长边的长为a.∵由题图(2)可知，A5纸的较长边与A4纸的较短边相等，较短边等于A4纸的较长边的一半，∴A5纸的较长边为a，较短边为a，∴A4纸的较长边与A5纸的较长边之比为=，A4纸的较短边与A5纸的较短边之比为=，∴=.又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴A4纸与A5纸相似. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $