山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第14章 完全四边形

第14章 完全四边形 我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形．六个交点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线．如图14-1，直线 ， ， ， 两两相交于 、 、 、 、 、 六点，即为完全四边形 ．线段 、 、 为其三条对角线．设 与 交于点 ，则 称其为对角三角形． 完全四边形中，既有凸四边形，凹四边形，还有折四边形以及四个三角形．即凸四边形 ，凹四边形 ，折四边形 ，四个三角形是 ， ， ， ．每个四边形的对边称为完全四边形的对节，一个完全四边形共有六对对节． 完全四边形有一系列有趣的性质 ． 性质1 完全四边形的三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线． 此即完全四边形 的三条对角线 ， ， 的中点 ， ， 共线． 证明 如图14-1，分别取 ， ， 的中点 ， ， ． 于是，在 中， ， ， 三点共线；在 中， ， ， 三点共线；在 中， ， ， 三点共线． 由平行线性质，有 ． 对 及截线 应用梅涅劳斯定理，有 ，即有 ． 再对 应用梅内劳斯定理的逆定理，知 ， ， 三点共线． 注：此性质还可有10余种证法 ． 性质2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割． 如图14-2，在完全四边形 中，若对角线 所在直线分别与对角线 ， 所在直线交于点 ， ，则 ． ① 若 ，则由 ，即证． （此时，也可看做直线 ， 相交于无穷远点 ，也有下面的②，③两式） 若 不平行于 ，则可设两直线相交于点 ，此时，还有 ， ② ． ③ 下面仅证明当 不平行于 时，有 ，其余两式可类似证明． 证明 对 及点 应用赛瓦定理，有 ． ④ 对 及截线 应用梅涅劳斯定理，有 ． ⑤ 上述两式相除（即④÷⑤），可得 ． 注：对 及点 和截线 分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得 ．对 及点 和截线 分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得 ． 性质3 完全四边形 的四个三角形 ， ， ， 的外接圆共点 ，点 称为它的密克尔点． 证明如图14-3，设 与 的外接圆交于点 外，还交于点 ．设点 在直线 ． ， 上的射影分别为 ， ， ，则对 应用西姆松定理，知 ， ， 共线． 又设点 在 上的射影为 ，则对 应用西姆松定理，知 ， ， 共线，故 ， ， ， 四点共线． 对 和 分别应用西姆松定理的逆定理，知 在 ， 的外接圆上，故四个三角形的外接