山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第13章 根轴

第13章 根轴 定义 从一点 作一圆周的任一割线 ，从点 起到和圆周相交为止的两线段之积 ，称为点 对于这个圆周的幂 ． 由相交弦定理及割线定理，知点 的幂是定值．若点 在圆内，则点 的幂等于以该点为中点的弦半弦长的平方；若点 在圆外，则点 的幂等于从该点所引圆周的切线长的平方；若点 在圆周上，则点 的幂等于0． 由定义，关于圆周的幂有下列结论． 结论1 点 对于以 为圆心、以 为半径的圆周的幂，等于 及半径 的关系式 ． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条过连心线上一定点且垂直连心线的直线． 事实上，设点 到圆 和圆 的幂相等，圆 ，圆 的半径分别为 ， （ ），则 ，即 如图13-1，设 的中点为 ， 于点 ，则 易得 所以，过定点 的垂线即是两圆等幂点的轨迹． 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴． 特别地，若两圆同心，则 ．从而，同心圆的根轴不存在；若 ，圆 变成一点 ，则点 对于圆 的幂是 ．此时，直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有下面的性质． 性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线． 性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行． 事实上，若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点，称为三个圆的根心． 显然，当三个圆的圆心的一条直线上时，三条根轴互相平行．当三个圆的圆心不共线时，根心存在． 性质4 若两圆相离，则两圆相离，则两圆的四套公切线的中点在根轴上． 性质5 一点 对于不同心两圆 、 的幂为 ， ， 是这两圆的等幂轴， 于 ，则 ．即一点对于不同心两圆的幂之差等于等幂轴到该点的距离乘以圆心距之积的2倍． 证明 设 于 ，作 于 ，便得 推论 若两圆不同心，则其中一个圆的任何点对于另一圆的幂的绝对值，必等于该点到等幂轴的距离乘以圆心距之积的2倍． 即若 点在 上，则 ，此时 ． 下面给出运用上述性质解题的例子． 例1 （IMO50预选题）已知 的内切圆分别与边 ， 切于点 ， ， 与 交于点 ，点 ， 满足四边形 和四边形 式平行四边形．证明： ． 证明 如图13-3，设 的内切圆和 内的旁切圆分别为圆 和圆 ，圆 和圆 与边 分别切于点 ， ，圆 与直线 ， 分别切于点 ， ． 由 ，得 ， ． 因此，对于点 ， ，它们到点