山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第12章 圆与圆相交 （2份打包）

． ① 上述两式相除得 ． ② 由题设有 ，则由②式有 ， 即有 ，亦即 ． ③ 对于③式，应用性质35，知 ， ， ， 四点共圆．即知 ， ， 有公共弦 ． 此时，又由性质35，当 ， ， 有公共弦 时， 有 ， 亦即 ， 从而有 ． ④ 设直线 交 于 ，对 及截线 应用梅涅劳斯定理，有 ． 由上式和①式两式相除，得 ⑤ 将④式代入⑤式，得 ．注意到已知条件 ，有 ． 从而 与 重合，故 ， ， 三点共线． 由推论9，即得如下结论： 推论10在凸（或折）四边形 中， ， 分别在线段 ， 上，点 ， ， 分别在线段 ， ， 或其延长线上，且满足 ， ，则 ， ， 三点共线． 推论11 三个圆两两相交（或相切）有公共弦 （或公切点 ），过点 的割线段 ， 依次交三个圆于 、 、 ， 、 、 ，则 ， ， 的三个重心共线，且三个垂心共线． 证明仅就图12-37的情形给出证明． 设 的重心分别为 、 、 ，又 、 、 分别为 ， ， 的中点，则注意到性质35，有 ． 而 分别在线段 上，且 ，则由推论10，知 三点共线． 设 分别为 ， ， 的外心，则由性质34，知 三点共线，且由性质35必要性证法1中，知 ． 再注意到欧拉线定理，三角形的外心，重心，垂心共线，且其间距离成比例，从而由推论10知 ， ， 的垂心 ， ， 共线． 由性质35还可得到如下结论： 推论12 两圆相交的公共弦为 ，过点 的割线 与 分别交第一个圆于 ， ，交第二个圆于 ， ．若有一点 ，使得 与 反向相似，则 ． 证明 在图12-38， 与 以及 与 似乎顺向相似，但 、 是不存在的． 反向相似存在于图12-38（2）中．设 在直线 ， 上的射影分别为 、 ，则由反向的 ，知 ，即有 ． 此时， ， ， ， 四点共圆，且 为其直径． 注意到性质35，知 、 、 、 四点共圆，即知 、 、 、 、 五点共圆． 于是 ，故 ． 推论13 两圆相交的公共弦为 ，过点 的割线 与 分别交第一个圆于 ， ，交第二个圆于 ， ．若线段 的中垂线与线段 的中垂线相交于点 ，则 ． 证明 如图12-39，设 ， 分别为 ， 的中点，则 ， ．从而，即知 、 、 、 四点共圆，且 为其直径． 此时， ，注意到性质35，知 ， ， ， 四点共圆． 于是， 、 、 、 、 五点共圆，有 ，故 ． 推论14两圆相交的公共弦为 ，过点 的割线 与 分别交第一个圆于 、 ，交第二个圆于 、 ．若 、 、 、 四点共圆，圆心为 ，则 ． 证明 如图12-40，设 ， 分别为 XZ， 的中点，则 ， ．从而即知 、 、 、 四点共圆，且 为其直径，此时 ，注意到性质35，知 、 、 、 、 五点共圆，有 ，故 ． 注：此推论即为前面的性质10． 性质36 三个圆两两相交，一条与三圆相交（异于公共弦的端点）的直线依次与各圆交于六点，过第一、五、六点分别作该圆的直径，则这三个圆共一条公共弦，且三条直径的另一端点为顶点的三角形的垂心在公共弦所在直线上的充分必要条件是这三条直弪的端点构成完全四边形的六个顶点． 证明 如图12-41，三个圆的圆心分别为 ， ， ．点 ， ， 相应为直线与三个圆的交点， ， ， 分别为三条直径的另一端点， 充分性．当 ， ， ， ， ， 构成完全四边形的六个顶点时，则 ， ， 分别为完全四边形的三条对角线 ， ， 的中点，设 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的垂心．注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心，即知 三个圆的根心，对于 ，在它的边所在直线上的点 ， ， ， 关于以 ， ， 为直径的圆的幂相等，即 在这三个圆两两的根轴上． 同样，对 ．在它的边所在直线上的点 ， ， ．其垂心 关于以 ， ， 为直径的圆的幂相等，即 在这三个圆两两的根轴上． 同理， ， 也都在这三个圆两两的根轴上． 于是， 均在这三个圆两两的根轴上，即这三个圆两两的根轴重合，亦即共轴．三个圆两两相交时，三个圆共公共弦 如图，显然 的垂心 在直线 上． 必要性 ．设 ， ， 共公共弦 ，且 的垂心 在直线 上时． 联结 ， ， ，由于 ．在直线 上，则知 在这三个圆两两的根轴上，即 关 于以 ， ， 为直径的圆的幂相等，从而知这三个圆分别过 的三条高 ， ， (如图)的端点，于是知 ， ， 分别在边 ， ， 所在直线上．故 与 交于点，点 ， ， 三点共线，即 ， ， ， ， ， 为完全四边形的六个顶点，结论证毕．（注：三圆两两不相交时，也有类似于性质36的结论．） 推论15完全四边形的三条对角线的中点共线，且三中点所在直线垂直于以对角线为直径的三圆的公共根轴， 事实上，这可由性质34及性质36证明后的注即证．三条对角线的中点所在直线也常称为牛顿线或高斯线