内蒙古赤峰二中2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 中h 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 米 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与 欧 解三角形。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 题目要求的， 1.设集合A={-2,一1,1}，B={x|-1≤x<2},则A∩B的子集个数为 A.8 B.4 C.3 D.2 2.命题“]x∈N,x2=x”的否定是 A.Hx∈N,x2=x B.]x∈N,x2≠x C.Hx∈N,x2≠x D.3x4N,x2=x 3在△ABC中，已匆AC=43,cosB-号，则△ABC外接圆的半径为 A.6 B.3 C.6√2 D.32 鼠 4知a>0,且a≠1，函数f(x)= |x2+2x-a,x>1, 若f(x)在R上单调递增，则a的取 a',x≤1 范围是 A(1,] B(1,] C.(1,2) D.(1,+∞) 线 5已知非零向量a,b满足1a=1a-2b1,aLa-26),则号- A.2 B安 C.2 都 6.若-5<2a+b<4,-3<a-2b<6,则3a十4b的取值范围是 A（-7,2) B.(-16,11) C.(-7,11) D.(-16,-7) 7.定义在(0，十∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且xf'(x)-f(x)<0,则 A.ef(1)>f(e) B.f(1)>f(e) C.ef(-)>f( D.f()>f) ▣ 仅供发货使用 【高三数学第1页（共4页） 8.1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆 呈现最长？我们把地球表面视为平面α，悬杆视为直线1上两点A,B间的连线，则上述问题 可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线1垂直 于平面a,直线l上有两点A,B位于平面a的同侧，求 平面上一点C,使得∠ACB最大.建立如图2所示的 平面直角坐标系.若A,B两点的坐标分别为(0,8)， (0,4),点C的坐标为(c,0),则当∠ACB最大时，c的 图1 图2 值为 A.64 B.32 C.8√2 D.42 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若“x≥a”是“x>2”的充分不必要条件，则a的取值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 10.对于函数f(x)=cos(2x+)和g(x)=tan(x+)儿，下列说法正确的是 ·A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 C.f(x)与g(x)的图象有相同的对称中心 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 11.已知函数f(x)=x3+3x2十ax-2,则下列说法正确的是 A当a≥3时，f(x)只有一个零点 B.若f(x)有极值点，则a的取值范围为（一∞，3] C,存在负数a,使得f(x)在(0，十o∞)上单调递增 D.过点（一1，一a)且与曲线y=f(x)相切的直线只有一条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a>0,6>0,a+b=5,则2十+若的最小值为人 13.已知函数f(x)是周期为2的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2:一1，则f(1og23) 14,在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,c=(a十2b)cosB.若cosB= 3 ,则6=▲若62-c2=2,则c·c0sA=▲ 1高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=2sin(aux十p(知>0，-<g<受)的部分图象如图所示，A为其图象的 最高点，B,C为其图象与x轴的交点，点B(-子，0），且△ABC为直角三角形. (1)求f(x)的解析式及其单调递增区间； (2)当x∈[1,4]时，求f(x)的最值. 16.(15分) 已知函数f(x)=ae一x2十3. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程； (2)若a=2,求函数f(x)在[0W3]上的值域； (3)若方程f(x)=0有三个不同的根，求a的取值范围， 17.(15分) 已知f)是定义在R上的奇函数，当xE《0,十∞)时，fa)=-z-1 (1)求f(x)的解析式； (2)若f(|t2-3)+f(2t)>0,求实数t的取值范围， 【高三数学第3页（共4页）】 3.(17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C-√3 csin A=b. (1)求A; (2)如图，D,E是线段BC上的两个点，且AD=AE,LADE=答，BD=4EC,求tan∠BAD 的值 A17分) 已知函数f(x)=ln(x2+2x+2)-ln(x2-4x十5). : (1)求f(x)的单调递增区间. (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形 (3)若0<b<a<1,且f(a)+f(b)=0,证明：a°+b>√a+b. ! 【高三数学第4页（共4页1】高三数学考试参考答案 1.B因为A∩B={一1,1}，所以A∩B的子集个数为2=4. 2.C存在量词命题的否定是全称量词命题. 3D因为osB=5 3,B∈(0，，所以sinB=1-c0sB二5.设△ABC外接圆的半径 R,则2R= AC-4,3=62,所以△ABC外接圆的半径为3. sinB√6 kA由得ae1, a>1, 5.C由a|=a-2b1,得4a·b=4b2,即a·b=b2.又a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2- 2ab=0,即2ab-a,所以8-厄. 6.B令3a+4b=m(2a十b)十n(a-2b),则 ,2m+n=3, m=2,因为-10<2(2a+b) 解得 m-2n=4, n=-1. <8,一6<-(a-2b)<3,所以-16<3a+4b<11,即3a+4b的取值范围是(-16,11). .A设gx)=2,则g(x)=f'-f）.因为xf(x)-f)<0,所以gx)在(0， +o∞)上单调递减.因为。<1<e,所以g(日)>g1>ge),所以。 ）、f①f⊙，即 1 e ef()>f(D),ef(D)-f(). 8D由题意得知∠ACB是锐角，且∠ACB=∠OCA-∠OCB,而an∠OCA-8,tan∠OCB 84 -1,所以tan∠ACB=tan(∠OCA-∠OCB)=CgS 4 13232:而cTc32-8v2. 当且仅当c-32 ,即c=4V2时，等号成立，所以当c=42时，ta∠ACB=4≤4=2 c+3282=4 此时∠ACB最大，故选D. 9.CD因为“x≥a”是“x>2”的充分不必要条件，所以[a,十∞)二(2，十∞). 10.BD令)-cos(2x+晋)-0，解得x-管+适：4∈.令g)-m(x+音-0，解 【高三数学·参考答案第1页（共5页）】 得x=k元一吾∈乙，显然了()，gx)的零点不同，A错误： 根据周期公式，f(x),g(x)的最小正周期均为π，B正确： g(x)的图象无对称中心，C错误； f()图象的对称轴方程清足2x+号-kx--香。 Γ2 6,k∈Z, 双《x)用象的对称维方程满足x+看-经x一经吾∈乙。 显然f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴，D正确. 11.ADf'(x)=3.x2+6x+a,令f'(x)=3.x2+6.x+a=0,△=36-12a,当a≥3时，△=36 12a≤0，则f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增，f(0)<0,f(a)>0,故A正确； 若f(x)有极值点，△=36-12a>0,解得a<3,B错误； 当a<0时，由3x2+6x+a=0,可得△=36-12a>0,设x1,x2为3.x2+6.x+a=0的两根， 则x十x=-2<0,1x,-号<0，所以x1<0<,故f(x)在0，x)上单调递减，C错误： 不妨设切点为(xo,f(x6),则f'(xo)=3x十6x。十a, 切线方程为y-(x8十3x十ax0-2)=(3x十6xo十a)(x-x0), 整理得y=(3x+6.x。十a)x-2x8-3.x-2,又切线过点(-1，一a), 所以x8+3.x8+3x十1=0，即(x0十1)3=0，解得xo=-1, 所以过点（一1，一a)且与曲线y=f(x)相切的直线只有一条，D正确 12.g 因为a>06>0a+6=5,所以a+10+6=6:所以a十+号-（十十》a十 1+6们-君引++a。"]因为年+a≥2：a=:当F仅 b 当2a十D==4时，等号战立所以十+号的最小值为号-号 13.3 fioe8)-fcg8-2》-iog）-f1(og)-号1-号 14./13;1由c=(a+2b)cosB及正弦定理得sinC=sin Acos B+2 sin Bcos B,又sinC= sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以cos Asin B=2 sin Bcos B,因为sinB≠0，所以 aA-2as以若sB-行期sA-SnB-下 分3，snA=子又由正弦定理可得 =√13， 由余弦定理知-d2=a2-2 acs B,即2=4-4cosB,所以c·osB=分，所以c: cos A=1. 15.解：(1)因为A为f(x)图象的最高点，所以点A的纵坐标y4=2,即△ABC的高为2.… …1分 【高三数学·参考答案第2页（共5页）】 因为△ABC为直角三角形，所以BC=4. 又因为BC-号-名=4，所以。-子 …2分 因为B(-号，0)，所以f(-号)=2sm[子×(-)+9]=0，…3分 则9一否-k∈Z即9=若十元k∈乙 因为-受<g<受，所以g=晋，所以f)=2si(x+晋 ，…5分 令-+2x≤+≤+2x,k∈Z, 解得-+≤<号+8kkEZ。 即了c)的单调递增区间为[-8+8k,号+]，k∈Z …7分 2因为当✉1时x+晋∈3]， 9分 所以当平x+吾-受，即x=子时f(s=2, 11分 当子+晋-晋即x=4时5)=2X(-号)=-1 综上，当x∈[1,4门时，f(x)的最大值为2，最小值为-1.…13分 16.解：(1)若a=1,则f(x)=e-x2+3,所以f(0)=4. …1分 因为f'(x)=e-2x,所以f'(0)=1,…2分 所以曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y一4=1·(x一0)，即x一y十4=0.… ……4分 (2)若a=2,则f(x)=2e*-x2十3，所以f'(x)=2e-2x=2(e2-x).…5分 令g(x)=e-x,则g'(x)=e-1. 当x>0时，g'(x)>0,当x<0时，g'(x)<0, 所以g(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增. 因为g(0)=1,所以g(x)>0,即f'(.x)>0.…7分 因为f(x)在[0，√3]上单调递增，所以f(x)mm=f(0)=5,f(x)mx=f(√3)=2eF, 故函数f(x)在[0,5]上的值域为[5,2e …9分 (3)方程f(x)=0有三个不同的根，等价于h(x)=3的图象与直线y=a有三个交点. …10分 因为h(x)=2Lx2+3--(x-3)(x+1) e e 【高三数学·参考答案第3页（共5页）】 所以h(x)在（一∞，一1），(3，十∞)上单调递减，在（一1,3）上单调递增.…12分 6 因为(-1)=-2e,h(8)=且当x∈(-o0,-5)Uw5,+o∞)时，hx)>0,.14分 所以当a∈(，S)时，h(x)=二3的图象与直线y=a有三个交点，故a的取值范围是 (o,9) …15分 17.解：(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0.…1分 当x0时，>0则-)=是-(-2)-1=2+-1 …3分 因为f(x)是奇函数，所以∫(x)=一f(一x)=一2”一x十1.…5分 所以f(x)的解析式为f(x)= 2 一x-1,x≥0， …7分 -2r-x+1,x<0 2当≥0时，)是-1，则/x)在0，十上单调道诚 …8分 因为∫(x)是R上的奇函数，所以∫(x)在R上单调递减.…9分 由f(|t2-3|)+f(2t)>0,可得f(|t2-3)>-f(2t)=f(-2t),…12分 所以|t2-3<一2t,解得-3<t<-1,故实数t的取值范围是（一3，一1）.…15分 18.解：(1)因为a cos C-√3 csin A=b,所以sin Acos C-√3 sin Csin A=sinB,·2分 所以sin Acos C-√3 sin Csin A=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 则-√3 sin Csin A=cos Asin C.… …4分 因为i血C≠0，所以-snA=0sA,即amA=-写，所以A- …6分 (2)i设∠BAD-a,则B-否-a,C=a,∠EAC-否-a. …8分 AD BD 在△ABD中，sin B-sin/BAD' ………10分 AE EC 在△AEC中，sinC-sinEAC' 11分 两式相除可得 sin a 4sin(a) 12分 sin a sin(6-a) 因为a,答-。均为镜角，所以simg=2sim(胥-a小，…14分 则sina=cosa-√5sina,所以tana= -3,1.即tan∠BAD-3-1 3+1 2 .…17分 【高三数学·参考答案第4页（共5页）】 19.(1)解：因为x2十2x十2>0，x2一4x+5>0,所以f(x)的定义域为R.…1分 2x+22x-4 -6(x2-x-3) f(x)-+2x+2x-4x+5(x+2x+2)(-4x+5)' …2分 令')>0，得-<<1+E …3分 2 2 所以f的单调遮婚区间为（压，1+平） 2 …4分 (2)证明：f(x)=ln(x2+2x+2)-ln(x2-4x+5)=ln[(x+1)2+1]-ln[(.x-2)2+1], f(1-x)=ln[(1-x+1)2+1]-ln[(1-x-2)2+1]=ln[(.x-2)2+1]-ln[(.x+1)2+1] =-f(x), “0…010114*0*4*000000*0*0*“*004*0**0*…*0…7 所以f(x)的图象关于点（宁，0）中心对称，即曲线y=(x)是中心对称图形.…9分 《)证明)的单调道治区同为1一正，1中).日了的阁象关于点（合。）中心 21 对称， 由f(a)+fb)=0,可得a+b=1,故0<b<)a<1.……11分 令ge)-0D周g') 1-1+Inz (1-x)2· 令-1+nx0<1.则一士吉号3，即)单调造减， 所以y>y|x=1=0,则g'(x)>0,所以g(x)单调递增， lna、In b In a、lnb 则g(a)>gb)→-a>1-b9b1 ←台→0“>b°，于是0b<a“<1.…13分 令h(r)=严(0<<1)，则'(x)=1-h>0,h()单调递增， 则hb)h(a)na一形aa>mal-In a>bnb=a1na>b血6.● …15分 令p(x)=a'+b-x(b<x<a),则g'(x)=a'lna-b-lnb, u(x)=a*In a-bnb,(x)=a*(In a)2+6-*(In b)2>0, 所以(x)单调递增，即o'(x)单调递增，则p'(x)mm=p'(b)=alna一blnb>0, 于是g(x)>0,g(x)单调递增，则p(2）<g(a)后+万<a十b.…17分 ▣ 【高三数学·参考答案第5页（共5页）】