山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第10章 三角形的内切圆 （2份打包）

例 （2010年中国国家集训队测试题）锐角 中，已知 ，设 的内心为 ，边 ， 的中点分别为 ， ，点 ， 分别在线段 ， 上，且满足 ， ，过内心 作 的平行线与直线 交于点 ，点 在直线 上的投影为 ．证明：点 在 的外接圆上． 证明 如图 ，由 ， ，应用推论 ，知 为 内的旁切圆与边 的切点， 为 内的旁切圆与边 的切点． 令 ， ， ， ， ， ， ， ， 分别为 的外接圆、内切圆半径． 由性质 （1）， ， ， 从而 ． 设 与 交于点 ，与 的外接圆交于点 ，则 为弧 的中点，过点 作 的垂线与直线 交于点 ．下面证明 ． 设 与 ， 分别交于点 ， ，对 及截线 应用梅涅劳斯定理， 有 ． 因为 ， ， 所以 ． 于是，有 ． 同理 ． 由于 ，所以 ． 注意到过点 只能引一条平行于 的直线，所以 与 重合，又点 在 上的投影是唯一的，故 与 重合，即点 在 的外接圆上． 例 （2006年CMO题）在 中， ， 的内切圆圆 分别与边 ， ， 相切于点 ， ， ，联结 ，与内切圆交圆 交于点 ，联结 ， ．若 ，求证： ．（注： 可去掉） 证法 如图 ，辅助线及各点标记如图． 由性质 （1），可设 ， ， 三线共点于 ． 由 ，知 在 上，又 ，则 是 外接圆的切线． 又 ，知 的圆心在 上． 同理， 的圆心在 上． 故 即 的圆心， ，从而 ，则 ， ， ， 四点共圆，有 ，即 ．故知点 为弧 的中点． 设 ， ， ， ，延长 至 ，使 ，作 于 ，则 ，即知 为 的中点．于是， ， ， 且 （定差幂线定理） 即 ，亦即 ， 亦即 ． 由切割线定理，有 ．代入上式有 ，求得 ， ，即有 ，故 ． 证法 （图略）．由性质 （3）．可设 ， ， 三线共点于 ， 与 交于点 ，则在完全四边形 中，应用对角线调和分割性质，有 ． 过 作 交 ， 于 ， ，则 ，即有 ． 又 ，则 ，即 ，知 是弧 中点．下同证法 ． 证法 （图略）．联结 、 分别交内切圆于点 、 ．由性质 （4），可设 ， ， 三线共点于 ．因 ，则 ， ，即 为 的垂心．于是 ． 从而，直径 为 的中垂线，即 是弧 的中点．下同证法 ． 例 （2001年第30届美国数学奥林匹克题）已知 的内切圆 分别切 ， 边于 ， ， ， 分别在 ， 上，且 ， ．记 与 的交点为 ，圆 与 相交两点中离 较近的点为 ．求证： ． 证明 如图 ，设圆 的圆心为 ，因 ，由性质 知 ， ， 三点共线． 再由性质 ，知当 时，有 ． 例 （2003年第20届伊朗数学奥林匹克题）设 是 的内心，且 与 ， 分别切于点 ， ， 与 交于另一点 ， 是 与 的交点． 在线段 上，且 ．证明：当且仅当 ， ， 三点共线时， ． 证明 如图 ，设直线 交 于点 ，则由性质 ，知当 时， ． 于是， ， ， 三点共线 与 重合 为 的中点 ． 例 （2008年印度国家队选拔考试题）设 是非等腰三角形，其内切圆为圆 ，圆 与三边 ， ， 分别切于点 ， ， ．若 ， ， 分别与 ， ， 交于点 ， ， ， ， ， 的中点分别为 ， ， ．证明： ， ， 三点共线． 证明 如图 ，由性质 知， ， ， 三点共线． 在四边形 中（或完全四边形 中），应用牛顿线定理，即知 ， ， 三点共线（第14章性质1）． 例 （1995年第24届美国数学奥林匹克题）设 是非等腰非直角三角形，设 是它的外接圆圆心，并且 ， ， 分别是边 ， ， 的中点，点 在射线 上，使得 ∽ ．点 和 分别在射线 和 上，使得 ∽ 和 ∽ ．证明：直线 ， ， 共点． 证明 如图 ，因 ∽ ， ∽ ， ∽ ，则由性质 ，知 与 相切于点 ， 与 相切于点 ， ， ， ， 分别与 相切于点 ， ， ， ．于是， 是 的内切圆，切点分别为 ， ， ． 由切线长定理，再应用塞瓦定理，知 ， ， 三线共点． 例 （2006年第16届韩国数学奥林匹克题）在 中， ， 的内切圆 与 ， ， 的切点分别为 ， ， ．记 与 的不同于点 的交点为 ．过点 作 的垂线交 于点 ， ， 分别是 与直线 ， 的交点． 求证： 是线段 的中点． 证明 如图 ，记过点 且平行于 的直线与过点 且与 垂直的直线交于点 ，直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ． 由 ，知 ， ， ， 四点共线． 由 ，知 ，又 ，即知 ， ， ， ， 五点共圆，记此圆为 ． 又由 ，知 ， ， ， 四点共圆，记此圆为叫 ． 注意到 ，圆 ，圆 两两相交的根轴 ， ， 相交于一点（因 知圆 ，圆 ， 的圆心不共线），而 与 相交于点 ，直线 与 交于点 ，故 与 重合，即有 ．于是，由推论 ，知 ，故知 是线