山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第9章 西姆松线

第9章 西姆松线 过三角形外接圆上一点作三边的垂线，则三垂足共线，此线称为西姆松线． 上述结论亦称为西姆松定理，它的逆命题也是成立的，称为西姆松定理的逆定理． 显然，三角形任一顶点的西姆松线就是过这顶点的高线，一个顶点的对径点的西姆松线就是这个顶点所对的边所在的直线． 异于三角形顶点的任一点的西姆松直线有如下一系列有趣的性质及应用． 性质 （施坦纳定理）三角形外接圆上异于顶点的任一点的西姆松线平分该点与垂心的连线． 证法 如图 ，设 为 的外接圆上异于顶点的任一点，其西姆松线为 ， 的垂心为 ． 作 的外接圆，则此圆 与 关于 对称，延长 交 于 ，则 为 的中点．设 交 于点 ，联 ． 由 、 、 、 四点共圆，有 ． 从而直线 ，注意到直线 平分 ，故直线 平分 ． 证法 如图 ，设 为 外接圆上异于顶点的任一点，其西姆松线为 ， 为 的垂心． 设 于 ，交圆于另一点 ，延长 至 ，使 ．设 为 的外心，作 于 ，由 作 的垂线必过 的中点，亦即过 的中点，所以 ，又 ，则 ，从而 为平行四边形． 设 于 ， 交 于 ，连 ．由 ，而 ，则 为平行四边形，即知 ． 故 为平行四边形，从而 被直线 平分． 证法 如图 ，联 并延长交 于 ，交外接圆于 ，联 交 于 ，交西姆松线于 ． 由 、 、 、 四点共圆，有 ，则 为等腰三角形，即 ． 又 ， ，则 ，即 与西姆松线的交点 为 的中点． 证法 如图 ，设 ， 交直线 于点 ．注意到 ， ， ． 故 ， ， 又 ，则 ．故直线 平分 ． 证法 如图 ，设直线 交 于 ，则知 为 的中点，作 于 ，直线 交 于 ．过 作 交 于 ，则 为等腰梯形，且 为其对称轴，从而 为 的中点． 又 点 的西姆松线 ，故 与 的交点 为 的中点． 注：设 、 分别为 、 的中点，由 、 、 、 共圆，知 、 、 、 亦共圆，此圆即为 的九点圆，即 在九点圆上（参见推论 ）． 证法 如图 ，联 并延长交外接圆于 ，联 ．过 作 于 ，延长 交外接圆于 ，则垂心 在 上． 联 ，由 、 、 、 四点共圆，知 ，从而 ． 自 作 交 于 ，则 为等腰梯形．而 ，则知 是 的中垂线，从而知 是 的中点． 注意到 ，在 中， 必过 的中点，故 被直线 平分． 推论 设 、 分别为三角形外接圆上的点、三角