山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第8章 垂心组

第8章 垂心组 由三角形的三顶点及垂心引发我们给出垂心组的概念． 以三点为三角形的顶点，另一点为该三角形的垂心的四点称为垂心组，由此即知，垂心组中的四点，每一点都可以为其余三点为顶点的三角形的垂心．垂心组有如下的优美性质． 性质 垂心组的四个三角形的外接圆是等圆． 证明 如图 ，设 为锐角 的垂心，延长 交 的外接圆于点 ，则 与 关于边 对称．于是， 的外接圆与 的外接圆关于边 对称，即为等圆，而 的外接圆即为 的外接圆，故 的外接圆与 的外接圆是等圆． 同理， 、 的外接圆与 的外接圆是等圆． 若 为钝角 的垂心，可同理证得结论成立． 性质 若三个等圆相交于一点，则这点和其他三个交点构成一垂心组． 证明 如图 ，设三个等圆相交于点 ，每两圆的另一交点为 、 、 ．直线 、 分别交直线 、 于点 、 ． 由等圆中等弧所对的圆周角相等，有 ，即 、 、 、 四点共圆． 又由 ，知 ，即知 、 、 、 四点共圆． 于是， 邻补角相等 ．即知 ． 同理， ．故 为 的垂心．从而 、 、 、 为垂心组． 性质 垂心组的四个三角形的外心构成一垂心组． 证明 如图 ，设 为 的垂心， 、 、 、 的外心分别为 、 、 、 ． 联结 、 、 、 、 、 、 ，则知四边形 、 均为菱形，即有 ，从而四边形 为平行四边形，于是 ． 同理， ． 又 ，则 ． 同理， ， ．故 为 的垂心，即 、 ， 、 为一垂心组． 性质 垂心组的四个三角形的重心构成一垂心组． 证明 如图 ，设 为 的垂心， 、 、 、 的重心分别为 、 、 、 ．联结 并延长交 于点 ，则 为 的中点，且 在 上；联结 并延长交 于点 ，则 为 的中点，且 在 上． 注意到重心在中线的 处，在 中， ， ，故 ． 在 中， ， ，从而 ．同理 ． 又注意到 ，则 ． 同理， ， ．故 为 的垂心，即 、 、 、 为一垂心组． 性质 垂心组四点位于中间的一点可作为一个三角形的内心，其余三点作为这个三角形的三个旁心．反过来结论亦成立．一个三角形的内心、三个旁心构成一垂心组． 事实上，垂心组位于中间的一点作为垂心时，这个垂心即垂足三角形的内心，此时其余三点恰为垂足三角形的三个旁心．反过来，结论亦成立，留给读者自行推证． 注意到：内心、旁心位于三角形顶点处的内角平分线、外角平分线上，且同一顶