山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第6章 等腰三角形的底边所在直线上的点

第6章 等腰三角形的底边所在直线上的点 平面几何中的基本图形所蕴含的性质是组成几何问题的基本构思，有时也是沟通直线型问题与曲线型问题的重要细节．本章就介绍这样的一个基本图形所呈现的优美数量关系，即等腰三角形的一条性质定理及其应用． 性质 设 是等腰 的底边 所在直线上一点，则 ． （ ） 证明 如图 （1），当点 在底边 上时，设 为底边 的中点，联结 ，则 ，且 ．注意到勾股定理，有 ． 如图 （2），当点 在底边 的延长线上时，设 为 的中点．同上述证法，有 （或当 在 左侧时，有 ） （或 ） ．证毕． 注：也可利用在点 处的角相等或相补，分别对 和 运用余弦定理而证；或由 证． 显然，上述结论是斯特瓦尔特定理（若 为 的 所在直线上一点，则 ）的特殊情形，上述基本图形常出现在与等腰三角形有关的问题中；也常出现在与线段的中垂线有关的问题中；与切线长定理有关的问题中；与点对圆的幂（即圆幂定理）有关的问题中，即为：若以 为圆心，过 ， 作圆，则对于 所在直线上一点 ，有 ，此即为圆幂定理． 下面，我们从四个方面列举一些应用的例子． 1．在与等腰三角形有关的问题中 例 在 中， ， 边上有 个不同的点 ， ，…， ，记 ，求 的值． 解 由于 是等腰三角形，则可应用性质（即（ ）式），有 ，从而 ． 故 ． 例 如图 ， 和 是 的割线，分别交 于 ， ，且 ．过 的直线交 于 ， （ 在 与 之间），交 于 ，交 于 ．求证： ． 证明 因 为等腰三角形，注意到 ，知 ，即 也为等腰三角形，应用（ ）式，有 ． ① 由 ，有 ． 再注意到 ，于是， ．② 又在 中，有 ． ③ 将②，③代入①有 ． 整理，即得 ． 2．在与线段的中垂线有关的问题中 例 （2008年天津市高中数学竞赛题）已知锐角 的三边 ， ， 的中点分别为 ， ， ，在 ， ， 的延长线上分别取点 ， ， ．若 ．证明： 的外心为 的垂心． 证明 如图 ，设 的三条高线分别为 ， ， ，垂心为 ， 与 交于点 ．由于 是 的中位线， ，则 为线段 的中垂线，应用（ ）式，有 ． 同理， ， ． 注意到垂心的性质，有 ，及已知条件 ，从而 ． 故 的垂心 为 的外心，即 的外心为 的垂心． 例 （2005年国家队集训题）已知 ， 是 的边 ， 的中点， ， 是边 ，