山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第5章 直角三角形中直角边所在直线上的点

第5章 直角三角形中直角边所在直线上的点 直角三角形中直角边所在直线上的点有如下的结论，作为其性质介绍如下： 性质 设 是直角 （ ）的直角边 所在直线上一点（异于 ），则 ． 证明 对于图 （1），当点 在 的延长线上时，由勾股定理，有 ． 当点 在 的延长线上时，类似地有 ． 对于图 （2），当 在边 上时，类似地有 ． 显然，在图 中，若点 与点 重合，则 ，有 ，此即为勾股定理．因此，我们可把上述性质称为广勾股定理． 由上述性质，还可得如下推论： 注：也可运用余弦定理证： ． 推论 三角形一边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和，视其该边所对的角是直角、锐角或钝角而定． 推论 三角形的一角是直角、锐角或钝角，视其该角所对的边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和而定． 下面给出三角形的广勾股定理应用的例子． 1．直接在直角三角形中用 例 （三角形的中线长公式）三角形一边上的中线长的平方，等于其他两条边长的平方和之半减去该边长平方的四分之一． 证明 如图 ， 为 的边 的中点，作 于 ．分别在 和 中应用广勾股定理（即（ ）式），有 ， ． 由上述两式相加，得 ． 例 （平行四边形边长与对角线长关系）平行四边形各边的平方和等于两对角线的平方和． 事实上，在图 中，将 延长至 ，使 ，则四边形 为平行四边形，由三角形中线长公式，即得 ． 例 （定差幂线定理）设 ， 是两条线段，则 的充要条件为 ． 证明 必要性．如图 ，若 ，则可设 于 ． 分别在 ， 中应用广勾股定理，有 ， ． 上述两式相减，得 ． 充分性．当 时，如图 ． 设 ， ， ， ， ， 分别为 ， ， ， ． ， 的中点，将这些中点联结如图，则 ， ， 均为平行四边形．由例 的结论，有 ， ． 由题设有 ，即有 ． 上述三式整理得 ，即 ，从而 为矩形，有 ． 而 ， ， 故 ． 例 如图 ，在 中， ，点 在边 上，使得 ， ，且 ．求 的长． 解 由 ，知 ． 过点 作 的平分线交 于 ，则 为等腰三角形．令 ，则 ，且 ． 分别对 ， 应用广勾股定理，有 ， 即 ． ． 又由角平分线性质，有 ，即 ，解得 ． 从而 为所求． 2．作出垂线，构造新直角三角形 例 如图 ，已知在 中， ． （1）如图所示，当点 在斜边 上（不含端点）时，求证： ； （