山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第4章 三角形中的分角线

第4章 三角形中的分角线 三角形中分角线有如下一系列有趣的结论，我们以性质的形式介绍之． 性质 设 、 是 的 边上（异于端点）的两点，令 ， ， ，则 的充要条件是 或 或 ． 证法 如图 ，应用三角形正弦定理，有 ， ．① 必要性．当 时，则由上述①式，即得结论． 充分性．当 时，在 边上取点 ，使 ． 此时，由①式，有 ．于是，有 ． 从而 ，即知 与 重合．故 ． 证法 如图 ，作 的外接圆分别交 、 于点 、 ，则由割线定理，有 ， ． 亦即有 ． ② 于是， ． 注：设 ， 是 的 边上（异于端点）的两点，若 ，则 （1） ； （2） ； （3） ． 事实上，（1）如图 ，作 的外接圆与直线 ， 分别交于点 ， ．联结 ， ，则 ． 由 ∽ ，有 ． ① 由 ∽ ，有 ． ② 由①÷②并注意 得 ． ③ 又由 ∽ ，有 ． 于是 ． （2）同（1）中证法即得． （3）由（1）与（2）中两式相乘即得． 还需特别指出的是：由（1）、（2）中两式，有 ，即有 ． 这给出了性质 必要性的另证． 性质 的充分性也可由三角知识推导． 由 ，并令 ，则 ，将三角式积化和差及和差化积，有 ，亦即有 ．于是 ． 而 ， ，故 ． 对于图 ，类似于证法 ，可证得 的充要条件是 ． 此时，我们可得如下推论： 推论 设 是 的 边上一点（异于端点），则 ． 推论 设 是 的 边上一点（异于端点），令 ， ，则 的充要条件是 ． 此即为角平分线的性质定理与判定定理． 推论 设 、 是 的 边上（异于端点）的两点，令 ， ， ， 则 ∶ ∶ ． 事实上，由 及 相除即得． 推论 设 是 的 边上的中点， 是 边上另一点，令 ， ， ，则 的充要条件是 或 ． 事实上，这可由性质 及推论 即得． 此时， 为 的 边上的中线．当 时，直线 与 关于 的平分线对称，我们称 为 的一条共轭（或陪位）中线．于是，我们有推论 的等价表述：设 是 的 边上一点（异于端点），则 为 的一条共轭中线的充要条件是 或 ． 对于推论 ．我们还有如下的等价结论： 推论 设 是 的 边上的中点， 是 边上另一点（异于端点），令 ， ， ，则 的充要条件是分别过 ， 点的 的外接圆的两切线的交点 及 、 三点共线． 证明 充分性．如图 ，当 ， ， 三点共线时，设