山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第3章 含有45内角的三角形

第3章 含有 内角的三角形 含有 内角的三角形也是一类特殊的基本图形，它出现在等腰直角三角形中，出现在正方形图形中，出现在直角三角形等图形中．它也有一系列有趣的性质及广泛的应用． 性质 含有 内角的三角形中，其外心与 角所对的边的两端点构成直角三角形的顶点，且外心为直角顶点． 性质 含有 内角的三角形中，其垂心与 角的顶点的距离等于 角所对的边长． 证明 如图 ，点 为 的垂心， ．设 、 分别是边 、 上的高， 、 分别为垂足，则 为等腰直角三角形，于是有 ． 又 ，则有 ≌ ．故 ． 性质 在锐角 中， ， 于 ，则 可内接于一个以 为一个顶点，边长等于 的正方形 ． 证明 如图 ，分别以 、 为对称轴，作 的对称图形 、 ，则 ≌ ， ≌ ，此时 ， ．延长 、 交于点 ，则 为矩形．又 ，故 为正方形，且 内接于此正方形． 性质 在锐角 中， ， 于 ，则 可内接于以 为直角顶点， 为斜边上的高的直角三角形 ． 证明 如图 ，分别以 、 为角平分线作 ，作 ，与 两端的延长线分别交于 ， ，则 ，且 ，故 为直角三角形，且 内接于此直角三角形． 性质 在锐角 中， ， 于 ，则 ． 证明 如图 ，设 ， ， ， ，则 ， ， ． 于是 ， ． 由此即证． 性质 在锐角 中， ，作 于 ，作 于 ，则 平分 的面积，即 ． 证明 如图 ，由 ，则 ， ，从而 ， ，且 与 所成的锐角为 ． 于是 ． 即知线段 平分 的面积． 性质 在锐角 中，作 于 ，作 于 ，设 为 的外心，则 的充要条件是 为 的垂心． 证明 如图 ，设 与 交于点 ，则 为 的垂心． 联结 ， ， ， ， ，则 、 、 、 四点共圆，且由三角形垂心与外心的性质，知 ．于是， ，而 ，从而 与 互余，故 ． 、 、 、 四点共圆 注意由 有 ，此时有 ，其中注意到 为 的垂心． 下面，我们从四个方面介绍有关问题的求解例子，从这些例子中可看到这类问题的求解方法． 1．在等腰直角三角形中 例 设 为等腰直角三角形 斜边 上任一点， 垂直 于点 ， 垂直 于点 ， 垂直 于点 ，延长 并在其延长线上取一点 ，使得 ． 试证： ，且 ． 证明 如图 ，由题设，有 ． 从而 ． 又 ， 公共，则 ≌ ，有 ． 注意到 ，则 ． 故 ． 例 如图