山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第2章 含有60内角的三角形

第2章 含有 内角的三角形 含有 内角的三角形，也是一类特殊的三角形．特别地，正三角形是一类特殊的含有 内角的三角形，以及对含有 内角的三角形进行割或补，很快便可作出正三角形．这类三角形还有如下有趣的性质． 性质 三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 的内角． 性质 非钝角三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 ． 证明 当三角形为直角三角形时结论显然成立． 下面设 为锐角 的垂心，记 三内角为 ， ， ，如图 所示． 充分性．设 ， 的外接圆半径为 ，直线 交直线 于 ，直线 交直线 于 ．由垂心性质知， ， ， ， 四点共圆，有 与 相等或相补．在 中 （图 （1））， 或 （图 （2））． 即有 ． 又在 中， ，即 ，注意到正弦定理 ． 必要性，设 为 边上的高， 为 边上的高，由 （ 为 外接圆半径），注意到 ， ， ， 四点共圆，有 [注意 ，则 ． 又 ， 从而 ． 求得 ． 注：必要性也可由 及三角形顶点 到垂心 的距离等于外心 到对边 的距离的 倍来证明． 性质 三角形的两顶点与其内心，外心，垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 ． 证明 当三心有两心重合时，或为直角三角形时结论显然成立．下面讨论三心两两不重合且三角形不为直角三角形的情形，记 三内角为 ， ， ，如图 所示． 充分性．设 ， ， ， 分别为 的内心，外心，垂心，此时 ， ， ， 或 ． 故 ， ， ， ， 五点共圆，显然有 ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， 分别四点共圆． 注：若联结 并延长交圆 于 ，则由内心性质知 ，即上述圆的圆心为 ，且该圆与 的外接圆是等圆． 必要性．由 为其垂心，则 ， 或 ． ① 由 为其内心，则 ． ② 由 为其外心，则 ． ③ 若 ， ， ， 四点共圆，则 或 ，即由①，②有 ． 两边加上 ，或由①，②有 ． 均求得 ． 若 ， ， ， 四点共圆，则 或 ，即由①，③有 或 ，均可求得 ． 若 ， ， ， 四点共圆，则 ，即由②，③有 ， 求得 ． 综上，必要性获证． 性质 含有 内角的非直角三角形中， （1）其内，外心的距离等于其内，垂心的距离． （2）其外心与垂心的连线平分含有 内角的两边上的高线所成的锐角． （3）其外心与垂心距离的 倍等于另外两顶点