山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第1章 直角三角形

第一编 点击基本图形 第1章 直角三角形 直角三角形是含有内角为 的特殊三角形，它是一类基本图形． 直角三角形的有趣性质在处理平面几何问题中常发挥重要作用． 性质 一个三角形为直角三角形的充要条件是两条边长的平方和等于第三条边长的平方（勾股定理及其逆定理）． 性质 一个三角形为直角三角形的充要条件是一边上的中线长等于该边长的一半． 推论 直角三角形的外心为斜边的中点． 性质 为直角三角形，且 为直角顶点的充要条件是当 在边 上的射影为 时，下列五个等式之一成立． （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． （5） ． 事实上，由 ，有 ．注意到 公用，知 ∽ ．而 ，故 ．即可得（1）的充分性． 我们又由 ，即 ． 即可证得（4）的充分性． 其余的证明略． 推论 非等腰 为直角三角形，且 为直角顶点的充要条件是当 在边 上的射影为 时， ． 事实上，由性质 中的（1）、（2）相除或（4）、（5）相除即证．下面，另证充分性．由 ， 有 ． 而 ，即有 ．由此即可证． 性质 为直角三角形，且 为直角顶点的充要条件是当 在边 上的射影为点 ，过 中点 的直线 （或 ）交 （或 ）于 ， 在 上的射影为 时， （或 ）． 证明 必要性．如图 ，过 作 交 于 ，则 ，且 ，即有 ， 即 ． ① 又 ，有 ② 在 中，有 ， ③ 将③代入② 得 ④ 将①代入④得 ． 充分性．由 ，注意到② 及①，有 再注意到性质 （4）即证． 对于 的情形也类似上述证明． 性质 为直角三角形，且 为直角顶点的充要条件是当 为边 上异于端点的任一点时， ． 证明 必要性．如图 ，作 交 的延长线于 ，则 ． 由 ．将前述式代入上式化简即可证． 充分性．令 ，在 与 中，应用余弦定理得 注意到 ，化简得 ， 所以 ． 而已知有 ，从而 即证． 性质 如图 ，在 中， 为斜边 上的高， ， 分别为 和 的内心，过 ， 的直线交 于 ，交 于 ；延长 交 于 ，延长 交 于 ；设 为 的内心，则 （1） ． （2） ． （3） ，且 ． （4）三直线 ， ， 共点． （5） ，且 ． （6） ． 证明 （1） ． （2）由 ，知 ． 同理 ． （3