30.2 三角形的内切圆 课时作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 · 第三十章 直线与圆的位置关系 · 课时作业 30.2 三角形的内切圆 课时作业 （含：切线长定理 · 三角形的内切圆与内心） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理，并能运用它进行计算与证明． 2．了解三角形的内切圆和内心的概念，会作三角形的内切圆． 3．掌握内心的性质，会求三角形内切圆的半径，能区分三角形的内心与外心． 二、知识点梳理 知识点1 切线长与切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 图1 切线长定理 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 如图1，、 分别切 于 、，则 ，． 注意 ①“切线”是直线，不能度量；“切线长”是线段的长，可以度量． ②由切线长定理还可以得到： 垂直平分 ；；． 知识点2 三角形的内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 图2 内心是角平分线的交点 图3 切线长关系 内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等．三角形的内心一定在三角形的内部． 知识点3 内心与外心的比较 名称 外心（外接圆圆心） 内心（内切圆圆心） 确定方法 三边垂直平分线的交点 三条角平分线的交点 性质 到三个顶点的距离相等 到三边的距离相等 位置 可在三角形内部、边上或外部 一定在三角形内部 与角的关系 （ 为锐角） 知识点4 常用结论 （1）内切圆半径与面积：设 的三边长为 、、，内切圆半径为 ，面积为 ，则 （2）直角三角形内切圆半径：设直角边为 、，斜边为 ，则 （也可由 求得）． （3）切线长关系：如图3，设 ，，，则 ，，． （4）圆外切四边形：圆外切四边形的两组对边之和相等．如图4，． 图4 圆外切四边形 （5）等边三角形：边长为 的等边三角形，内心与外心重合，内切圆半径 ，外接圆半径 ，． 三、典型例题精讲 例1 如图，、 分别切 于点 、，，，求弦 的长和 的半径． 例1图 解：由切线长定理 ，又 ， 是等边三角形，． 连接 、，，．设 ，则 ，由 得 ． 例2 如图， 是 的内切圆，与 、、 分别相切于点 、、，，，，求 、、 的长． 例2图 解：设 ，，，则 ，，． 三式相加得 ，所以 ，，．即 ，，． 例3 直角三角形的两条直角边分别为 和 ，求它的内切圆半径． 解：斜边 ，．（或 ） 例4 点 是 的内心，，求 的度数． 解：． 是内心，、 分别平分 、， ，． 例5 求边长为 的等边三角形的内切圆半径和外接圆半径． 解：等边三角形的高为 ，内心、外心都在高上且把高分成 两段， ，． 四、课时作业 （一）基础巩固 一、选择题 1．三角形的内心是（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．、 分别切 于点 、，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 3．直角三角形的两条直角边分别为 和 ，则它的内切圆半径为（　　） A． B． C． D． 4．点 是 的内心，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 5．等边三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为（　　） A． B． C． D． 6．四边形 的各边都与 相切，，，，则 的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，、 分别切 于点 、，过劣弧 上一点 作 的切线，分别交 、 于点 、．若 ，则 的周长为（　　） 第7题图 A． B． C． D． 8． 的周长为 ，面积为 ，则它的内切圆半径为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．三角形的内心到三角形________的距离相等；三角形的外心到三角形________的距离相等． 10． 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，过点 作 的切线，则切线长为________． 11．、 分别切 于点 、，，，则 的半径为________． 12．在 中，，，则 的内切圆半径为________． 13． 是 的内切圆，切点分别为 、、（ 在 上），若 ，则 ________． 14．直角三角形的斜边长为 ，内切圆半径为 ，则这个三角形的周长为________． （二）能力提升 三、解答题 15．如图，、 分别切 于点 、，连接 交 于点 ． （1）求证：，； （2）若 ，，求 的长． 第15题图 16．如图，在 中，，，， 是 的内切圆，切点分别为 、、．求 的半径及 、 的长． 第16题图 17．如图，在 中，，， 是 的内切圆，与 、、 分别相切于 、、．求 的半径和 的长． 第17题图 18．如图， 是 的内切圆，求证：． 第18题图 19．如图， 是半圆 的直径，、、 分别切半圆于点 、、． （1）求证：，且 ； （2）若 ，，求半圆的半径． 第19题图 20．有一块三角形木料，三边长分别为 、、，要从中裁出一块面积最大的圆形木板，求这块圆形木板的半径． （三）拓展探究 21．如图，在 中，， 是它的内切圆，与斜边 相切于点 ，，． （1）求 的半径； （2）求 的面积； （3）若 ，，猜想 的面积与 、 的关系，并证明． 第21题图 22．在 中，，，，点 是 的内心． （1）求 的度数； （2）求 的长； （3）设 的外心为 ，求内心 与外心 之间的距离． 23．如图，等腰梯形 中，，它的四条边都与 相切，，． （1）求腰 的长； （2）求 的半径． 第23题图 24．如图，点 是 的内心，过点 作 ，分别交 、 于点 、． （1）求证：； （2）若 ，，求 的周长． 第24题图 （四）课堂检测（限时10分钟） 1．、 分别切 于点 、，，，则 ________． 2． 的内切圆 与三边分别相切于 、、，，，，则 ________． 3．点 是 的内心，，则 ________． 4．已知 的三边长分别为 、、，求它的内切圆半径和外接圆半径． 五、参考答案及解析 （一）基础巩固 1．C． 2．C．，四边形 中 ． 3．A．斜边为 ，． 4．C．由 得 ，． 5．A．等边三角形中 ． 6．A．圆外切四边形对边之和相等：，，． 7．C．由切线长定理 ，， 的周长 ． 8．A．． 9．三边；三个顶点． 10．．切线长 ． 11．．，，． 12．．底边上的高为 ，，． 13．．连接 、，，． 14．．由 得 ，周长为 ． （二）能力提升 15．（1）证明：、 是 的切线，，． 是等腰三角形， 平分顶角，由“三线合一”得 ，． （2）解：，．在 中，由面积法 ， ． 16．解：，． 连接 、，四边形 是正方形，，，．（检验：） 17．解：连接 ，由对称性知 ，，，． ．． 18．证明： 是内心，、 分别平分 、， ， ． 19．（1）证明：由切线长定理，，，． 连接 ，由切线长定理， 平分 ， 平分 ，． （2）解：．过 作 于 ，则四边形 是矩形，，， ，，半圆的半径为 ． 20．解：所求圆是三角形的内切圆．设 ，，，作 于 ，设 ， 由 得 ，，． ．答：圆形木板的半径为 ． （三）拓展探究 21．解：（1）设半径为 ，由切线长定理，，，． 由勾股定理 ，整理得 ，解得 ，（舍去），． （2），，． （3）猜想：．证明：设半径为 ，则 ，，由 得 ． ． 22．解：（1），． 是内心，，． （2），内切圆半径 ．设内切圆与 、 分别切于 、，则四边形 是正方形，边长为 ， ． （3）直角三角形的外心 是斜边 的中点，．设内切圆与 切于点 ，则 ， ．，，． 23．解：（1）由圆外切四边形的性质，．又 ，． （2）过 作 于 ，则 ，． ，、 都与 相切， 两条平行切线间的距离等于直径，，． 24．（1）证明：连接 、． 是内心，．，， ，．同理 ．． （2）解：． 点拨 “角平分线 + 平行线 → 等腰三角形”是常见的基本图形，遇到内心和平行线的组合时要能迅速识别． （四）课堂检测 1．． 是等边三角形． 2．．． 3．．，． 4．解：，是直角三角形．内切圆半径 ，外接圆半径 ． （五）易错辨析 易错1 混淆内心与外心的角度公式． 例：点 是 的外心，，错解 ；正解：外心对应圆心角与圆周角的关系，． 只适用于内心． 易错2 直角三角形内切圆半径误用斜边的一半． 例：直角边为 、 的直角三角形，错解 ；正解： 是外接圆半径，内切圆半径 ． 易错3 求切线长时忘记“切线垂直于过切点的半径”这一隐含直角． 例： 的半径为 ，，求切线长．错解 ；正解：连接 ，，． 课后反思 见切线长，想到“切线长相等”，常设未知数列方程；求内切圆半径，一般三角形用 ，直角三角形用 ； 要注意区分内心（角平分线交点）和外心（垂直平分线交点）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $