30.2 三角形的内切圆 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以“三角形的内切圆”为核心，分基础、中档、综合三层设计，梯度清晰，从概念辨析到综合探究，强化知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|内心定义、切线长定理、内切圆半径与面积关系|以选择、填空、尺规作图为主，强化概念理解与基本运算，培养几何直观| |中档题|内切圆与周长、面积综合，内心与外心结合，古代数学应用|综合多个知识点，如切线长定理与周长计算，渗透推理能力与应用意识| |综合题|直角三角形内切圆与面积关系探究|阅读理解形式，通过证明与逆向思维，发展创新意识与模型观念|

30.2 三角形的内切圆 基础题 知识点 三角形的内切圆 1.如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,则点 O 是△ABC的( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高线的交点 2.以下对圆心和△ABC的关系描述正确的是( ) A.图①中 M 是△ABC的外心 B.图②中 N 是△ABC的外心 C.图③中 P 是△ABC的内心 D.图④中 Q 是△ABC的内心 3.如图,已知△ABC的内切圆⊙O与边 BC 相切于点 D,连接 OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD 的度数是( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 4.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点 D,E,F,且 AB=6,BC=10,CA=12,则AF的长为( ) A.2 B.4 C.3 D.5 5.如图，点 O 是△ABC 的内切圆的圆心.若∠A=80°,则∠BOC 的度数为 . 6.如图，四边形ABCD 的各边与⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD 的周长为20,则AB+CD= . 7.如图,已知△ABC. (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC的内切圆的圆心O.(只保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)若△ABC的周长为14 cm,内切圆的半径为1.3c m,则△ABC 的面积为 cm². 8.如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别是D,E,F. (1)若∠B=50°,∠C=70°,则∠DFE 的度数为 . (2)若∠DFE=50°,求∠A 的度数. 中档题 9.如图,周长为15 cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE 剪下了一个三角形纸片BDE.已知AC=4 cm,则三角形纸片 BDE 的周长是( ) A.10 cm B.9 cm C.8cm D.7 cm 10.如图,O是△ABC的外接圆的圆心，I是△ABC 的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC 的度数为 ( ) A.15° B.17.5° C.20° D.25° 11. 已知△ABC 的面积为 4 cm²,周长为 10 cm,则△ABC的内切圆的半径为 cm. 12.《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?”译文：今有一个直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少?书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长.用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘股，再乘 2 作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 步(注：“步”为长度单位). 13.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径，E 为△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点 D,连接 BE. (1)求证:DB=DE. (2)若过点 C 的切线与 BD 的延长线交于点F，已知 ,则DC与线段DF,CF围成的阴影部分的面积为 .(结果保留π) 综合题 14.新考向·阅读理解结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答. 题目:如图1,Rt△ABC的内切圆与斜边 AB 相切于点 D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积. 解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E,F,CE的长为x. 根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x. 根据勾股定理，得= 整理，得 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD 与BD 的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索. 如图2所示，已知△ABC的内切圆与AB 相切于点D,AD=m,BD=n. 【探究发现】 (1)若∠C=90°,求证:S△ABC= mn. 【逆向思维】 (2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°. 30.2 三角形的内切圆 1. B 2. A 3. C 4. B 5.130° 6.10 7.解:(1)图略.(2)9.1 8.解:(1)60°(2)连接ID,IE.∵∠DFE=50°,∴∠DIE=2∠DFE=100°.∵AB,AC分别与⊙I相切于点D,E,∴∠ADI=∠AEI=90°.∴∠A=360°-90°-90°-100°=80°. 9. D 10. C 11. 12.6 13.解:(1)证明:∵E 是△ABC的内心,∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC.∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC,∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE. (2)- 14.证明:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.根据切线长定理,得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,得 整理，得 学科网（北京）股份有限公司 $