17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式（教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 完全平方公式（因式分解版） 完全平方公式因式分解是整式乘法完全平方公式的逆用，将特殊的二次三项式拆解成两个相同整式的积。 和的完全平方：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ 差的完全平方：$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 核心口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号和中间项一样。 2. 完全平方式三大特征（必考判断） ① 项数：必须是二次三项式；② 首尾两项：是同号的平方形式；③ 中间项：是首尾底数乘积的2倍（可正可负）。 公式中的a、b可以是单独数字、字母、单项式，也可以是多项式整体，支持整体换元分解。 3. 因式分解通用解题步骤 1. 先提公因式：所有因式分解题目，优先提取公因式，化简原式；2. 再判结构：观察剩余式子是否为完全平方式；3. 套公式分解：匹配和或差的完全平方公式；4. 检查彻底：分解后因式无法再拆分，结果最简。 4. 常见完全平方形式 $$4x^2=(2x)^2$$、$$9m^2=(3m)^2$$、$$16x^2y^2=(4xy)^2$$，中间项常见：$$12xy=2\cdot2x\cdot3y$$、$$8a=2\cdot4\cdot a$$。 二、重点易错点汇总 1. 结构判断失误：两项式、首尾异号、中间项不是2倍首尾积，绝对不能用完全平方公式。 2. 平方项系数漏平方：仅对字母平方，忽略系数，误判完全平方式，如$$4x^2+4x+1 eq(4x+1)^2$$。 3. 中间项符号混淆：和的完全平方中间为正，差的完全平方中间为负，符号匹配错误。 4. 忘记先提公因式：原式含公因式直接套公式，导致分解不彻底、结果错误。 5. 完全平方与平方差混淆：三项式误用平方差、两项式误用完全平方公式，结构区分不清。 6. 常数项判断错误：常数项必须是某个数的平方，非平方数无法构成完全平方式。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式属于完全平方式的是（ ） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+4x-4$$ D. $$x^2-2x$$ 2. 分解因式$$a^2-6a+9$$的结果是（ ） A. $$(a-3)^2$$ B. $$(a+3)^2$$ C. $$(a-3)(a+3)$$ D. $$a(a-6)+9$$ 3. 分解因式$$4x^2+12xy+9y^2$$的结果是（ ） A. $$(2x+3y)^2$$ B. $$(2x-3y)^2$$ C. $$(4x+9y)^2$$ D. $$(2x+3y)(2x-3y)$$ 4. 若$$x^2+kx+16$$是完全平方式，则k的值为（ ） A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4 5. 分解因式$$2x^2-8x+8$$的正确结果是（ ） A. $$2(x^2-4x+4)$$ B. $$2(x-2)^2$$ C. $$(2x-4)^2$$ D. $$2(x+2)^2$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. $$x^2+4x+4=$$________。 2. $$m^2-10m+25=$$________。 3. $$9a^2-12ab+4b^2=$$________。 4. $$3x^2+6x+3=$$________。 5. $$x^2-$$________$$+9=(x-3)^2$$。 （三）解答题（共60分） 1.（15分）用完全平方公式分解下列因式： （1）$$x^2-12x+36$$ （2）$$25+10a+a^2$$ （3）$$16x^2-8xy+y^2$$ 2.（15分）先提公因式再分解：$$4a^3-16a^2+16a$$ 3.（15分）整体换元分解：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$ 4.（15分）先因式分解，再求值：$$x^2-4x+4$$，其中$$x=5$$。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：$$x^2-4x+4=x^2-2\cdot2\cdot x+2^2$$，符合完全平方式特征，其余选项首尾异号、中间项不满足2倍关系。 2. A 解析：原式$$=a^2-2\cdot3\cdot a+3^2=(a-3)^2$$，匹配差的完全平方公式。 3. A 解析：首尾分别为$$(2x)^2$$、$$(3y)^2$$，中间项$$12xy=2\cdot2x\cdot3y$$，原式$$=(2x+3y)^2$$。 4. C 解析：$$x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$$，中间项$$kx=\pm2\cdot x\cdot4$$，故$$k=\pm8$$。 5. B 解析：先提公因式2得$$2(x^2-4x+4)$$，再套公式分解为$$2(x-2)^2$$，分解彻底。 （二）填空题解析 1. $$(x+2)^2$$ 解析：标准和的完全平方，$$x^2+2\cdot2x+2^2$$。 2. $$(m-5)^2$$ 解析：匹配差的完全平方公式，直接分解。 3. $$(3a-2b)^2$$ 解析：$$(3a)^2-2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2$$，符合完全平方式结构。 4. $$3(x+1)^2$$ 解析：先提公因式3，再分解$$x^2+2x+1$$。 5. $$6x$$ 解析：展开$$(x-3)^2=x^2-6x+9$$，空缺项为$$6x$$。 （三）解答题解析 1. 解：（1）原式$$=x^2-2\cdot6\cdot x+6^2=(x-6)^2$$；（2）原式$$=a^2+2\cdot5\cdot a+5^2=(a+5)^2$$；（3）原式$$=(4x)^2-2\cdot4x\cdot y+y^2=(4x-y)^2$$。 2. 解：原式$$=4a(a^2-4a+4)=4a(a-2)^2$$，先提取公因式，再套用完全平方公式，分解至最简。 3. 解：设$$t=x-1$$，原式$$=t^2+4t+4=(t+2)^2$$，回代得$$(x-1+2)^2=(x+1)^2$$。 4. 解：原式$$=(x-2)^2$$，代入$$x=5$$，原式$$=(5-2)^2=9$$。 课时总结：本节核心掌握完全平方式的三大判定特征，精准区分完全平方公式与平方差公式。解题坚守“先提公因式、再判结构、套公式、查彻底”的四步法则，重点攻克结构误判、系数漏平方、符号错误、分解不彻底等易错点。完全平方公式分解因式是中考高频考点，常用于化简求值、配方题型，是后续分式运算、二次函数学习的重要基础。 人教版数学（新教材）八年级上册 17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 因式分解 素养目标 1. 理解完全平方公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点. (重点) 2. 能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力. (难点) 3. 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程，发展逆向思维，感受数学知识的完整性. 素养目标 知识回顾 我们已经学过了哪些分解因式的方法? 1.提公因式法 2.平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b) 把下列各式分解因式: x2-4 = ______________. a2-4b2 = ______________. a3-a = ______________. (x+2)(x-2) (a+2b)(a-2b) a(a+1)(a-1) 3 新知导入 【思考】多项式 a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？ 两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍 整式的乘法 因式分解 完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 整式的乘法 因式分解 我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式. 4 探究新知 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式: a2  2ab  b2 (a  b)2 5 归纳总结 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2 ab +b2 ± = (a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 6 探究新知 拼出的图形为： 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ a b a a2 a a b b b ab ab b2 a b a b a2 ab ab b2 得到公式：a2+2ab+b2 = (a+b)2 7 探究新知 （1）a2- 4a + 4 下列多项式是不是完全平方式? （2）1 + 4a² （3）4b2 + 4b - 1 （4）a2 + ab + b2 a2 - 4a + 4  (a-2)2 不是，只有两项 不是，平方项符号不一致 不是，ab项没有系数2 首平方，尾平方，首尾两倍在中央 8 1. 下列各式：； ； ； ，其中不能用完全平方公式因 式分解的式子有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知，为任意有理数，记，，则 与 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 不能确定 返回 举一反三 9 3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分 别为,,, ，则大正方形的边长为( ) D A. B. C. D. 4. 若有理数，满足，则 的 值为( ) A A. 2 B. C. 1 D. 返回 举一反三 10 例题练习 分解因式: (1)x2+4x+4； (2) 16x2-24x+9； 解：(1)x2+4x+4  x2 + 2· x · 2  22 a2 + 2· a · b  b2 = (a+b)2 (2)16x2-24x9 = (4x)2 - 2· 4x·3 + 32 = (4x-3)2. = (x+2)2 11 例题练习 分解因式: (1) )(a+b)2-12(a+b)+36； 2 -x2+4xy-4y2 分析：(1)中将 a+b 看成一个整体，设 a+b = m，则原式化为m2-12m+36. 解： (1) 原式 = (a+b)2-2·(a+b) ·6+62= (a+b-6)2 12 例题练习 分析：对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式. 解： (2) 原式= -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = -(x-2y)2 分解因式: (1) (a+b)2-12(a+b)+36； 2 -x2+4xy-4y2 13 探究新知 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解. 具有 a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 特征的多项式能用完全平方公式分解因式. 14 归纳总结 整式的乘法 因式分解 把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 15 探究新知 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 分解因式: (1) x4-y4； 2 a3b-ab (1)x4- y4 = 解： (x2)2 - (y2)2 = (x2+y2) (x2-y2) a2 - b2 = (a+b) (a-b) 还要进一步分解 = (x2+y2) (x+y) (x-y) 16 探究新知 分解因式: (1) x4-y2； 2 a3b-ab (2) a3b-ab =ab (a2-1) = ab(a+1) (a-1) 解： 分析： a3b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式. 17 探究新知 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2 ； 2 -ax2+2a2x-a3 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. 解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2； (2) -ax2+2a2x-a3 =-a(x2-2ax+a2 ) = -a(x-a) 2 18 归纳总结 因式分解的步骤： （1）先看多项式是否有公因式，有公因式的应先提出公因式. （2）再看能否用公式法 两项 三项 考虑能否用平方差公式 考虑能否用完全平方公式 （3）检查每一个多项式因式是否都不能再分解，能分解的继续分解到不能分解为止. 19 当堂练习 QING JING YIN RU 1.下列式子为完全平方式的是( ) A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1. 2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( ) A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2 3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( ) A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2 D C A 当堂练习 QING JING YIN RU 4.下列分解因式错误的是( ) A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2 C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2 D 5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( ) A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3 6.已知，则代数式的值为（     ） A．2020 B．2024 C．2021 D．2034 A D 当堂练习 QING JING YIN RU 7．分解因式__________________________． 8．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____． 9．若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________． 10.因式分解：x(x﹣2)+1=__________． 11.若有理数满足__________． 12.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b满足 _________． 或9 (x﹣1)2 1 1<m<3 当堂练习 QING JING YIN RU 13.分解因式： (1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1 解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2 (2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2 (3)原式=(a+1)2 (4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2 当堂练习 QING JING YIN RU 14．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). （1）解：； （2）解： ； （3）解： （4）解：＝＝ ＝． 5. 整式 可以写成( ) A. B. C. D. B 返回 举一反三 小结 公式法 公式 因式分解的步骤：一提公因式；二套公式； 三查多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. a22abb2  (ab)2 a2-b2 = (a+b)(a-b) 26 谢谢观看 THANKS $