17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式因式分解，涵盖公式逆用、结构特征、解题四步法及因式分解黄金顺序。课堂导入通过回顾提公因式法与平方差公式，引导学生从整式乘法完全平方公式逆向思考，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，从具体计算到抽象规律，培养数学眼光。通过满分解题四步法强化运算能力与推理意识，如整体换元例题体现抽象能力。分层练习和易错点总结帮助学生夯实基础，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式 第十七章 因式分解 17.2 第2课时 运用完全平方公式分解因式 总结与练习 一、课时核心知识点 1. 完全平方公式（因式分解逆用） 整式乘法展开： $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 因式分解逆用（本节核心公式）： $$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$$ $$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$$ 作用：将符合结构的二次三项式分解为两个相同整式的平方形式。 2. 完全平方式三大结构特征（必考判断） 多项式必须同时满足三个条件才可使用完全平方公式分解： ① 项数：一共三项（二次三项式）； ② 首尾项：首尾两项是平方形式且符号为正； ③ 中间项：中间项是首尾两项平方根乘积的2倍，可正可负。 万能口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 3. 公式中a、b的广泛含义 a、b可以是数字、单个字母、单项式，也可以是整体多项式。 例：$$(x-y)^2+4(x-y)+4$$，此处可令 $$a=x-y，b=2$$ 套公式。 4. 满分解题四步法 ① 判结构：是否为三项式、首尾平方为正、中间两倍积； ② 找首尾：求出首尾平方项的算术平方根a、b； ③ 定符号：中间项为正，和的平方；中间项为负，差的平方； ④ 查彻底：先提公因式、再套公式，最终分解干净无剩余因式。 5. 因式分解通用黄金顺序（全章通用） 一提、二套、三检查 1. 一提：有公因式先彻底提公因式； 2. 二套：二项式套平方差，三项式套完全平方； 3. 三检查：检查是否还能继续分解，必须分解彻底。 二、高频易错重难考点 1. 误判完全平方式：首尾一正一负、或中间项不是两倍积，不能套用公式； 2. 平方漏系数：$$4x^2=(2x)^2$$，容易错看成 $$x^2$$，导致a、b取值错误； 3. 中间项判断错误：忘记“2倍”，直接用首尾平方根相乘； 4.不先提公因式：式子含公因式直接套公式，分解不彻底； 5. 结果写错：完全平方分解结果是一个整式的平方，不是两个不同因式； 6. 符号混淆：首尾必须恒正，只有中间项可正可负。 三、经典例题精讲（由浅入深） 例1 基础标准型：分解 $$x^2+6x+9$$ 解：原式$$=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3)^2$$ 例2 负中间项型：分解 $$a^2-10a+25$$ 解：原式$$=a^2-2\cdot a\cdot 5+5^2=(a-5)^2$$ 例3 带系数平方型：分解 $$4x^2-12xy+9y^2$$ 解：原式$$=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3y+(3y)^2=(2x-3y)^2$$ 例4 先提公因式再套公式：分解 $$2a^2-8a+8$$ 解：原式$$=2(a^2-4a+4)=2(a-2)^2$$ 例5 整体换元拔高型：分解 $$(x-2)^2+4(x-2)+4$$ 解：令$$a=x-2，b=2$$ 原式$$=(x-2+2)^2=x^2$$ 四、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子是完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+4x-4$$ D. $$x^2-2x$$ 2. 分解 $$x^2-8x+16$$ 结果正确的是（） A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-4)(x+4)$$ D. $$x(x-8)+16$$ 3. $$4a^2+12ab+9b^2$$ 分解因式为（） A. $$(2a+3b)^2$$ B. $$(2a-3b)^2$$ C. $$(4a+9b)^2$$ D. $$(2a+3b)(2a-3b)$$ 4. 分解因式 $$3x^2-6x+3$$ 第一步是（） A. 直接套完全平方公式 B. 提取公因式3 C. 移项 D. 合并同类项 5. 若 $$x^2+mx+9$$ 是完全平方式，则m的值为（） A. 6 B. -6 C. ±6 D. 9 二、填空题（每题4分，共20分） 6. $$a^2+2ab+b^2=$$________；$$a^2-2ab+b^2=$$________。 7. $$x^2+4x+4=$$________。 8. $$9x^2-12x+4=$$________。 9. 因式分解顺序：先________，再套公式。 10. $$-x^2+2xy-y^2=$$________（先提负号再分解）。 三、解答题（共60分） 11.（20分）基础完全平方分解： （1）$$a^2-14a+49$$    （2）$$16x^2+24xy+9y^2$$ 12.（20分）先提公因式再套公式： （1）$$5x^2-20x+20$$    （2）$$-2a^3+8a^2-8a$$ 13.（20分）整体换元拔高题：$$(m+n)^2-6(m+n)+9$$ 五、参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：满足首平方、尾平方、首尾两倍在中央，其余选项结构不符。 2. A 解析：原式$$=x^2-2\cdot x\cdot 4+4^2=(x-4)^2$$。 3. A 解析：原式$$=(2a)^2+2\cdot2a\cdot3b+(3b)^2=(2a+3b)^2$$。 4. B 解析：式子含公因式3，必须先提公因式再套公式。 5. C 解析：$$x^2\pm6x+9=(x\pm3)^2$$，m可取正负6。 二、填空题 6. $$(a+b)^2$$；$$(a-b)^2$$ 7. $$(x+2)^2$$ 8. $$(3x-2)^2$$ 9. 提取公因式 10. $$-(x-y)^2$$ 解析：原式$$=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$$。 三、解答题 11. 解： （1）原式$$=a^2-2\cdot a\cdot7+7^2=(a-7)^2$$ （2）原式$$=(4x)^2+2\cdot4x\cdot3y+(3y)^2=(4x+3y)^2$$ 12. 解： （1）原式$$=5(x^2-4x+4)=5(x-2)^2$$ （2）原式$$=-2a(a^2-4a+4)=-2a(a-2)^2$$ 13. 解： 设$$a=m+n$$ 原式$$=a^2-6a+9=(a-3)^2$$ 回代得：原式$$=(m+n-3)^2$$ 1. 理解完全平方公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点. (重点) 2. 能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力. (难点) 3. 经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程，发展逆向思维，感受数学知识的完整性. 学习目标 整式乘法 因式分解 ma + mb + mc m(a + b + c) 整式乘法 因式分解 (a + b)(a - b) a2 - b2 问题1：我们已经学过哪些因式分解的方法？ 提公因式法： 公式法： 1. 完全平方公式用字母如何来表示？ (a±b)2＝a2±2ab＋b2 2. 完全平方公式有何特点？ 公式的左边是两个数的和(或差)的平方，右边是这两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍. 3. 完全平方公式能帮助简便运算因式分解吗？ 依据：完全平方公式： 解：(1) (m－4n)2＝m2－8mn＋16n2； (2) (m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2. 思考：这样计算的依据是什么？ (a±b)2＝a2±2ab＋b2. 问题1：计算：(1)(m－4n)2； (2)(m＋4n)2. 探究点一： 完全平方式 问题2：根据上面两道题，请大家试着分解因式： 观察有什么规律？ 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果. (2) m2＋8mn＋16n2 ＝(m＋4n)2. 解：(1) m2－8mn＋16n2 ＝(m－4n)2； (1) m2－8mn＋16n2； (2) m2＋8mn＋16n2. 探究点一： 完全平方式 问题3：我们把这些式子推广到一般式： 两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2 倍． 观察一下这两个多项式有什么特点？ a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2， 我们把 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2 这样的式子叫作完全平方式． 探究点一： 完全平方式 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有这两个数或式之积的 ±2 倍. 探究点一： 完全平方式 例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9 B 【变式训练】如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______. ±8 解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9. 探究点一： 完全平方式 【练一练】1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 -1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍. 探究点一： 完全平方式 探究点二：利用完全平方公式分解因式 问题4：你能将多项式 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2分解因式吗？ a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 的等号两边互换位置，就得到： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 把整式乘法的完全平方公式： 例2 分解因式： (1) x2＋4x＋4；      　　 分析：在(1)中，由于 4＝22，4x＝2·x·2， 所以 x2＋4x＋4 是一个完全平方式，即： x2＋4x＋4＝x2 ＋ 2·x·2 ＋ 22 a2 ＋ 2·a·b ＋ b2 探究点二：利用完全平方公式分解因式 解： x2＋4x＋4＝x2＋2·x·2＋22＝(x＋2)2； 解： 16x2＋24x＋9 ＝(4x)2＋2·4x·3＋32 ＝(4x＋3)2. (2) 16x2＋24x＋9.　　 分析：在(2)中，由于16x2＝(4x)2，9＝32， 24x＝2·4x·3，所以16x2＋24x＋9是一个完全平方式. 探究点二：利用完全平方公式分解因式 例3 分解因式： (1) (a＋b)2－12(a＋b)＋36； (2) －x2＋4xy－4y2. (2) 原式＝－( x2－4xy＋4y2 ) 解：(1) 原式＝(a＋b)2－2(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2. 分析：在 (1) 中，将 a＋b 看作一个整体，设 a＋b＝m，则原式化为完全平方式 m²－12m＋36； 对于 (2) ，可通过添括号将原式写成－(x²－4xy＋4y²)，括号内的式子为完全平方式. ＝－( x－2y )2. ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] 探究点二：利用完全平方公式分解因式 【练一练】1. 分解因式： (1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； 解：(1) 原式 = x2 - 2 · x · 6 + 62 = (x - 6)2. (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b) · 1 + 1² = (4a + 2b - 1)2. 探究点三：提公因式法和公式法的综合运用 例4 分解因式： (1) x4－y4； (2) a3b－ab. (2) a3b－ab ＝ab (a2－1) ＝ab (a＋1)( a－1 ). 解：(1) x4－y4 ＝( x2＋y2 )( x2－y2 ) ＝( x2＋y2 )( x＋y )( x－y )； 分析：在 (1) 中，x4－y4 可以写成 (x²)²－(y²)² 的形式，可用公式法分解因式； 对于(2)，a3b－ab 的两项有公因式 ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式. 例5 分解因式： (1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2) －ax2＋2a2x－a3. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2. 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. (2) －ax2＋2a2x－a3 ＝－a ( x2－2ax＋a2 ) ＝－a (x－a )2. 探究点三：提公因式法和公式法的综合运用 【归纳总结】 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 【练一练】2. 分解因式： (1) －3a2x2＋24a2x－48a2； (2) 4x2y－4xy2－x3 ； (3) y2＋2y＋1－x2. 解：(1) 原式＝ －3a2(x2－8x＋16) ＝ －3a2(x－4)2. (2) 原式＝－x(－4xy＋4y2＋x2) ＝－x(x－2y)2. 探究点二：利用完全平方公式分解因式 (3) 原式＝(y＋1)²－x² ＝(y＋1＋x)( y＋1－x). 1. 下列各式：； ； ； ，其中不能用完全平方公式因 式分解的式子有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知，为任意有理数，记，，则 与 的大小关系为( ) B A. B. C. D. 不能确定 返回 中考考法 20 3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分 别为,,, ，则大正方形的边长为( ) D A. B. C. D. 4. 若有理数，满足，则 的 值为( ) A A. 2 B. C. 1 D. 返回 中考考法 21 5. 整式 可以写成( ) A. B. C. D. B 返回 中考考法 整式的乘法 相反 变形 因式分解 a2 + 2ab + b2 =_______. a2 - 2ab + b2 =_______. (a + b)2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 完全平方公式 (a - b)2 两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___(或___)的平方. 和 差 $