2.3用反比例函数解决问题-几何问题（同步练习）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上2.3用反比例函数解决问题-几何问题（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 3．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 4．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 5．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 8．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 9．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 10．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 11．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 12．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 13．（2026·四川乐山·二模）如图，已知反比例函数与直线在同一平面直角坐标系中． (1)若两个函数图象只有一个公共点，求值； (2)若两个函数图象交于、两点，求线段中点的纵坐标． 14．（2026·湖南常德·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，，当与x负半轴的夹角和与y正半轴的夹角相等时，求点C的坐标及直线l向上平移的距离． 15．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 16．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 17．（26-27九年级上·江苏·阶段检测）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， (1)当时，求的值； (2)求证：； (3)随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 18．（2026·江苏盐城·中考真题）小明利用数学画图软件，进行了如下操作： （Ⅰ）生成反比例函数的图像； （Ⅱ）过点生成轴的垂线，过点生成轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点，，生成直线． 所得图形如图所示，根据信息，解答下列问题． (1)求，两点的坐标，以及直线的函数表达式． (2)在（1）的基础上，当在什么范围内时，反比例函数的值大于一次函数的值？（直接写出结果） 19．（2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 20．（26-27九年级上·江苏泰州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①求的值； ②关于的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 21．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 22．（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 苏科版九年级数学上《2.3用反比例函数解决问题-几何问题（同步练习）》参考答案 1．(1) (2)或 【分析】（1）求得点的坐标，把点的坐标代入正比例函数解析式即可求得； （2）先根据两个函数的对称性得到点的坐标，再根据图像，找出正比例函数图像在反比例函数图像上方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把代入， 可得； （2）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 关于原点对称， ， 根据图像，可得的解集为或． 2．(1)反比例函数为；一次函数为 (2)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个函数解析式求出x的值，代入某个函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐标． 【详解】（1）解：将代入： 得， ∴反比例函数为； 直线经过和，代入得方程组： ①②得：， 将代入②得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：联立一次函数和反比例函数的方程组： 将①代入②： 解得：或 当时，，即点， 当时，，即点， ∴点的坐标为． 3．(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 4．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【详解】（1）解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． （2）解：把代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （3）解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 5．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； （2）解：当时，解得， 即， ∴； （3）解：根据函数图象可知，当时，或． 6．(1)反比例函数的解析式；一次函数的解析式 (2)2.5 (3)或 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； （2）解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 7．(1) (2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 8．(1)， (2)或 (3)8 【分析】（1）把代入，求出，可得反比例函数表达式，把代入，可求出，，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的的取值范围即可； （3）设与轴的交点为，根据的表达式求出，根据，结合、坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， 把和分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：如图，设与轴的交点为， 由（1）得直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 9．(1)，y1=－2x＋2 (2)3 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 10．(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 11．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）先将点B代入求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求解； （2）即一次函数值大于反比例函数值，观察图象，写出x的取值范围即可求解； （3）设一次函数与y轴交于C点，可以看成由底均为的、组成，根据三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式， ∴， ∴双曲线为， 又∵在双曲线上， ∴， ∴， 将A、B代入一次函数解析式得， ∴． ∴直线的解析式为． （2）解：依据图象，即一次函数值大于反比例函数值， ∵，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：设一次函数与y轴交于C点， ∴，， ∵可以看成由底均为的、组成， ∴． 12．(1)； (2) 或 (3)或． 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． （2）解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． （3）解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 13．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系． （1）将函数图象的交点问题转化为一元二次方程根的问题，再利用根的判别式求出值； （2）利用根与系数的关系求解线段中点的横坐标，再代入一次函数解析式求得纵坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，化简得， 又只有一个公共点， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即， ，解得． 答：的值为． （2）解：设、，则，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得， 设线段的中点为， 为线段中点， ． 点在直线上， 将代入直线方程可得：． 答：线段中点的纵坐标为． 14．(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)的坐标为；向上平移的距离为7 【分析】（1）已知点在两个函数图象上，直接代入坐标即可求出和的值． （2）利用“夹角相等”这一条件，结合点的坐标特征，构造全等三角形或利用三角函数值，确定点的坐标．进而求出平移后的直线解析式，最后通过比较两条直线的截距得出平移距离． 【详解】（1）解：把点代入，得： 解得 反比例函数的解析式为， 把点代入，得： ； 解得； 一次函数的解析式为； （2）过点作轴于点，过点作轴于点． ， ， 在中， ， 与轴负半轴的夹角和与轴正半轴的夹角相等， ， ， 设，则， 点在第二象限， ， 点在反比例函数上， ， ， ， ， 点的坐标为； 设平移后的直线解析式为， 把点代入，得： 解得． 平移后的直线解析式为， 原直线解析式为， 平移距离为， 答：点的坐标为，直线向上平移的距离为7． 15．(1) (2)2； (3) (4)或 【分析】（1）用待定系数法求出表达式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出表达式即可； （3）先求出直线与x轴交于点，再根据图得出结论即可； （4）求出，再求出，再列不等式解决即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点， ∴把代入， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 把及代入， 则， 解得：； （3）解：把代入，则， 解得：， ∴直线与x轴交于点， ∴根据图象可知，当时，x的取值范围为：； （4）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∵的面积不小于的面积， ∴， ∴或． 16．(1) (2) (3)关于的不等式的解集为或 【分析】（1）根据正比例函数的图象经过得到，把代入即可得到的值； （2）把正比例函数和反比例函数解析式联立得到，求出，根据四边形是菱形得到，由轴得到轴，即可求出点的坐标； （3）根据反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，根据两个图象的位置即可求出答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过 ∴， ∴， 把代入得到，解得； （2）解：由（1）得到， 与联立得到， 解得或， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵轴． ∴轴， ∵， ∴点的坐标为； （3）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点， ∴当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为或． 17．(1) (2)证明：∵点在双曲线上， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴； (3)不变， 【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出的值，求出两点坐标，根据题意，进行求解即可； （2）根据点为交点，分别代入反比例函数解析式，以及一次函数解析式，进行推导即可； （3）求出点的坐标，进而表示出，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点为直线和双曲线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：不变，理由如下， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴，为定值. 18．(1)点的坐标为；点的坐标为； (2)或 【分析】（1）由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为，结合反比例函数解析式，即可求出坐标，再设直线的解析式为，并将A、B代入即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴将代入得，， ∴点的坐标为， 将代入得： 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入解析式中， 得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：由图象可得，反比例函数图像在一次函数图像上方时，对应的取值范围为或． 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∴在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 20．(1)①；②或 (2)点的坐标为或； (3) 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②观察图象即可求解； （2）先求得直线与轴的交点的坐标，再利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质证得，求得，同理，据此求解即可． 【详解】（1）解：①将代入中，得，所以， 再将代入中，得， 解得； ②由图象得，关于的不等式的解集为或； （2）解：由（1）得， 记直线交轴于点， 令，则，所以， ∵的面积为5， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，过点作轴的垂线，再分别过点和作的垂线，垂足分别为和， 联立得， 解得或， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 同理， ∵线段与反比例函数的图象有交点， ∴将，分别代入中， ∴或， ∴或， ∴或， ∵交点在第三象限， ∴． 21．(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为， 直线的解析式为，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 22．(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1）在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $