2.3 课时2 用反比例函数解决实际问题 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册“用反比例函数解决实际问题”同步练，通过基础到综合的分层设计，实现从单一知识点应用到跨情境问题解决的知识巩固路径，培养数学抽象与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|行程、工程等单一情境反比例关系|如填空题直接建立函数模型，强化“总量一定”核心概念| |提升层|多情境综合应用|如几何问题结合函数图象分析，培养几何直观与推理意识| |拓展层|实际意义检验与方案设计|如物流无人机配送问题，融合一次函数与反比例函数，发展应用意识|

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第2章 反比例函数 2．3 用反比例函数解决问题 课时2 用反比例函数解决实际问题 ▌课时目标 1. 能识别行程、工程、经济、几何等实际情境中的反比例关系，用“总量一定”确定常数k，建立模型。 2. 会根据已建解析式计算速度、效率、单价、边长等未知量，并能结合“不少于/不超过”等条件求自变量或因变量范围。 3. 能按实际意义确定自变量取值范围，对计算结果进行验根取舍，做到列式规范、单位完整、不超本章进度。 ▌课时目录 知识点01：行程问题中的反比例关系 知识点02：工程问题中的反比例关系 知识点03：经济问题中的反比例关系 知识点04：几何图形中的反比例关系 知识点05：实际问题中自变量取值范围的确定与实际意义检验 ▌知识点01：行程问题中的反比例关系 路程一定时，速度v与时间t满足vt＝s，可写为或，其中s＞0为定值。 先由已知速度和时间求出总路程s，再按问题写函数解析式。 自变量t＞0、v＞0；若有最高限速，则v不超过限值时对应最短时间；若要求若干小时内到达，则t不超过该值，反求v下限。 例：甲乙相距480km，则(t＞0)；若要求3h内到达，则v≥160km/h。 1．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成_函数关系，其函数表达式为_； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期末）随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 4．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ ▌知识点02：工程问题中的反比例关系 工作总量一定时，工作效率p（单位工作量/天）与工作时间t（天）满足pt＝W，可写为或，其中W＞0为定值。 已知“每天做a个、用b天”可求W＝ab；总量未知时可设总工作量为1，则。 自变量p＞0，t＞0；若限定工期不超过d天，则由求效率下限；若效率受最大产能限制，则反求最少天数。 例：总任务1200m，效率xm/天，则(x＞0)。 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当_____时，恰为45件/小时． 7．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ ▌知识点03：经济问题中的反比例关系 采购或分配问题中，总钱数一定时单价u与数量n满足un＝M，可写为或，其中M＞0为定值。 常用于“固定预算买文具、材料、设备”等情境。 数量常取正整数，单价按实际货币单位取正。若要求“数量不少于N”或“单价不高于U”，分别代入求对应范围。 例：用5000元买单价x元/台的机器y台，则(x＞0)，若x为整数则y按整数取舍。 9．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为元，本次采购的护腿板数量为副，总预算为定值元，与之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示． /元 12 30 /副 50 30 20 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算___________元，与之间的函数表达式为___________； (2)求表中的值； (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？ 11．（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 12．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． ▌知识点04：几何图形中的反比例关系 面积一定时相关边长成反比例：矩形面积S一定，长a与宽b满足ab＝S，可写；三角形面积S一定，底a与对应高h满足ah＝S，可写。 若涉及圆柱，体积V一定时底面积S0与高d满足S0d＝V，可写，仅限简单容积问题。 自变量按边长、高取正；矩形、三角形还要受“长不大于某值”“高为正”等条件限制。 例：矩形面积36m2，宽x、长y，则(x＞0)。 13．（2026·河北石家庄·二模）当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（     ） A．4 B．6 C．12 D．13 14．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 15．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 16．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． ▌知识点05：实际问题中自变量取值范围的确定与实际意义检验 建式后先定基本范围：时间、效率、速度、长度、面积、单价通常取正；人数、件数、天数可按正整数。再按题意加附加限制：行程加限速，工程加工期，采购加预算单价，几何加边长上下界。 代入求解后检验： 1. 分母不为0； 2. 结果为正且符合“不少于/不超过”； 3. 几何边长满足图形存在条件； 4. 若列分式方程得到多个解，舍去负解、零解、使原设失效的解。 5. 最后写清函数解析式、取值范围和答句单位。 17．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 19．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 20．（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． ▌课时训练 一、选择题 1．（2022九年级下·湖南益阳·专题练习）面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（     ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使得这款轮胎的摩擦系数高于，车速应高于 D．当车速从加速到时，该轮胎的摩擦系数减小了 4．（25-26八年级下·山西临汾·期中）某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 二、填空题 5．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）化学实验室要配制一些氯化钠溶液，当溶质氯化钠的质量固定不变时，溶液的总质量（单位：）与溶质的质量分数成反比例函数，其函数图象如图所示．当溶液总质量时，质量分数为______%． 6．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 7．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 三、解答题 9．（2026·河北石家庄·模拟预测）某综合实践小组对教学楼的楼梯开展探究活动，并了解了楼梯的信息如下表，楼梯的示意图如图所示，设踏步总级数为（为正整数），歇脚台宽度为． 关于教学楼楼梯的技术参数表 踏步面宽 每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：，且每级踏步面宽相等 踏步高度 每级楼梯的垂直高度，规范要求：，且每级踏步高度相等 歇脚台 楼梯顶端与大门之间的水平平台，供行人临时停留 总进深 从楼梯最底端到大门的水平总距离，本次测量值为 总高度 从地面到大门的垂直总高度，本次测量值为 (1)当，时，求踏步高度和踏步面宽的值； (2)用含，的式子表示歇脚台宽度； (3)为最大化歇脚台使用空间，即当歇脚台宽取得最大值时，请通过计算确定最合理的踏步高度和踏步面宽，并求出此时歇脚台的宽度的值． 10．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第2章 反比例函数 2．3 用反比例函数解决问题 课时2 用反比例函数解决实际问题 ▌课时目标 1. 能识别行程、工程、经济、几何等实际情境中的反比例关系，用“总量一定”确定常数k，建立模型。 2. 会根据已建解析式计算速度、效率、单价、边长等未知量，并能结合“不少于/不超过”等条件求自变量或因变量范围。 3. 能按实际意义确定自变量取值范围，对计算结果进行验根取舍，做到列式规范、单位完整、不超本章进度。 ▌课时目录 知识点01：行程问题中的反比例关系 知识点02：工程问题中的反比例关系 知识点03：经济问题中的反比例关系 知识点04：几何图形中的反比例关系 知识点05：实际问题中自变量取值范围的确定与实际意义检验 ▌知识点01：行程问题中的反比例关系 路程一定时，速度v与时间t满足vt＝s，可写为或，其中s＞0为定值。 先由已知速度和时间求出总路程s，再按问题写函数解析式。 自变量t＞0、v＞0；若有最高限速，则v不超过限值时对应最短时间；若要求若干小时内到达，则t不超过该值，反求v下限。 例：甲乙相距480km，则(t＞0)；若要求3h内到达，则v≥160km/h。 1．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数值求出比例系数，即可得到最终函数表达式． 【详解】解：设与的函数表达式为 ， 将 代入表达式，得 ， 解得 ， 因此与之间的函数表达式为 ． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成_函数关系，其函数表达式为_； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】(1) 反比例， (2) 不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期末）随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 【答案】(1) (2)， (3)能完成订单 【分析】（1）设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为，再结合当飞行速度为时，每公里消耗电能为，计算即可得出结果； （2）设飞行速度关于其载重的函数表达式为，利用待定系数法计算即可得出结果； （3）求出飞行的总耗电量，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为， ∵当飞行速度为时，每公里消耗电能为， ∴， ∴， ∴每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为； （2）解：设飞行速度关于其载重的函数表达式为， 将和代入函数表达式得， 解得， ∴飞行速度关于其载重的函数表达式为， 由资料1知最大载重为，且载重， ∴自变量m的取值范围是； （3）解：当时，， 将代入得， 飞行的总耗电量：， ∵最大电能为，且， ∴能完成订单． 4．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． ▌知识点02：工程问题中的反比例关系 工作总量一定时，工作效率p（单位工作量/天）与工作时间t（天）满足pt＝W，可写为或，其中W＞0为定值。 已知“每天做a个、用b天”可求W＝ab；总量未知时可设总工作量为1，则。 自变量p＞0，t＞0；若限定工期不超过d天，则由求效率下限；若效率受最大产能限制，则反求最少天数。 例：总任务1200m，效率xm/天，则(x＞0)。 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据工作量相同，建立等式解答即可． 本题考查了反比例函数的意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个人完成需10天， ∴一人一天的工作量为， ∵m个人共同完成需n天， ∴一人一天的工作量为， ∵每人每天完成的工作量相同， ∴． ∴， ∴n是m的反比例函数， ∴选取数对，在坐标系中进行描点，则正确的是C． 故选：C． 6．（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当_____时，恰为45件/小时． 【答案】或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“恰为件/小时”列方程求解． 【详解】解：当时，， 解得； 当时，， 解得：， 当时，， 解得； 故答案为：或或． 7．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 【答案】(1) (2)至少需要完成运送工作 【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可； （2）结合（1）的解析式结合函数性质解答. 【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. ▌知识点03：经济问题中的反比例关系 采购或分配问题中，总钱数一定时单价u与数量n满足un＝M，可写为或，其中M＞0为定值。 常用于“固定预算买文具、材料、设备”等情境。 数量常取正整数，单价按实际货币单位取正。若要求“数量不少于N”或“单价不高于U”，分别代入求对应范围。 例：用5000元买单价x元/台的机器y台，则(x＞0)，若x为整数则y按整数取舍。 9．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 根据题意可得，再整理可得与的函数关系式． 【详解】解：由题意可得：， 则， 故选：B． 10．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为元，本次采购的护腿板数量为副，总预算为定值元，与之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示． /元 12 30 /副 50 30 20 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算___________元，与之间的函数表达式为___________； (2)求表中的值； (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？ 【答案】(1)600， (2) (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，反比例的性质，正确理解题意是解题的关键 （1）由表格中的数据可知，据此可得答案； （2）把代入，即得a的值； （3）把代入解析式即得函数y的值. 【详解】（1）解：， ∴． 故答案为：600，． （2）解：把代入， 得， 解得：． （3）解：当时，． 答：当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板． 11．（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【答案】(1) (2)当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元 (3)此时店铺的一袋茉莉香茶为60元 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的应用、一元一次方程的实际应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）首先设销售利润为，根据题意即可得到，再结合当增大时，减少，即可得到当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）首先根据降雪量为8毫米时得到原售价为44元，再设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，根据题意即可得到，进而即可求解出此时店铺的一袋茉莉香茶的价钱． 【详解】（1）解：设， 将和代入，得，解得：， ∴； （2）解：设销售利润为， ∴由题意可得，， ∵， ∴当增大时，减少， ∴当时，取最大值，最大值为元， ∴当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：当降雪量为8毫米时，原售价为44元， ∵在进行“买三送一”活动时，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴购买了15袋，赠送了5袋， 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元， ∴由题意可得，，解得：， ∴此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 12．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时，， ∴不能． ▌知识点04：几何图形中的反比例关系 面积一定时相关边长成反比例：矩形面积S一定，长a与宽b满足ab＝S，可写；三角形面积S一定，底a与对应高h满足ah＝S，可写。 若涉及圆柱，体积V一定时底面积S0与高d满足S0d＝V，可写，仅限简单容积问题。 自变量按边长、高取正；矩形、三角形还要受“长不大于某值”“高为正”等条件限制。 例：矩形面积36m2，宽x、长y，则(x＞0)。 13．（2026·河北石家庄·二模）当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（     ） A．4 B．6 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据图象求出反比例函数的解析式结合性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图象得过点，代入得， ，，即：， ∵， ∴，即， 观察四个选项，选项B符合题意． 14．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 15．（2026·河南驻马店·三模）如图为某游乐场“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)为防止踩踏事件，滑梯管理员需要在滑梯上的点处设置一块红色标识，当前一位坐滑梯的游客与的距离不少于米时，才能放行下一位游客（即点到的距离至少米），求点到水面的距离最多多少米？ 【答案】(1)； (2)米； (3)米． 【分析】（1）根据矩形的性质结合点在轴上，求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为点的坐标并代入解析式中，求出的值，再根据，之间的水平距离为求解即可； （3）设点的坐标为并代入解析式中，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵点在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∵设段滑梯所在的双曲线的解析式为（为常数，且）， 将坐标代入，得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）解：∵点距离水面的距离为米， ∴设点的坐标为， ∵点在上， ∴将代入，解得：， ∴点的坐标为 ∴，之间的水平距离：（米）； （3）解“设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离最多米． 16．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 【答案】(1) 描点、连线画出的图像如图所示：    ①3，2，； ②B； ③ (2)右平移2个单位；向上平移1个单位； 【分析】（1）先用描点法画出图像，①②根据函数图像的平移规律即可解答；③先求出时的取值，然后结合函数图像即可解答． （2）根据发现的规律填空即可 【详解】（1）解：列表： ①将函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位可得， 的对称中心为，向左平移3个单位，再向下平移2个单位，可得对称中心为． 故答案为：3，2， ②上述研究方法用到的数学思想是类比思想， 故答案为B． ③解：当时，有，即； 由图像可得：当时，． 故答案为． （2）函数是由向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对称中心是， 故答案为：右平移2个单位；向上平移1个单位；． 【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数的性质、对称中心、运用函数图像求不等式解集等知识点，正确画出函数的图像是解答本题的关键． ▌知识点05：实际问题中自变量取值范围的确定与实际意义检验 建式后先定基本范围：时间、效率、速度、长度、面积、单价通常取正；人数、件数、天数可按正整数。再按题意加附加限制：行程加限速，工程加工期，采购加预算单价，几何加边长上下界。 代入求解后检验： 1. 分母不为0； 2. 结果为正且符合“不少于/不超过”； 3. 几何边长满足图形存在条件； 4. 若列分式方程得到多个解，舍去负解、零解、使原设失效的解。 5. 最后写清函数解析式、取值范围和答句单位。 17．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 【答案】(1)函数解析式为，自变量的取值范围是； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围； （2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：千米米， 根据路程公式：路程速度时间，可得， 整理得函数解析式为， 由题意可知， 当时，， 当时，， ∵反比例函数在时，随增大而减小， ∴的取值范围是； （2）解：设点的坐标为， 由轴，轴，可得四边形是矩形， 矩形面积， ∵点在函数的图象上， ∴， 即四边形的面积为． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 19．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某新型发动机启动过程中，转速与时间的关系如下： 阶段1（启动阶段）：从启动开始，转速随时间均匀增加．启动时转速为转，转速每分钟提高转，转速达到转停止加速； 阶段2（稳定下降阶段）：达到最高转速后，发动机进入保护模式，转速开始下降，且下降过程中转速与时间成反比例函数关系．已知转速（单位：转）与通电时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间有多长？ 【答案】(1)启动阶段：，下降阶段： (2) 【分析】（1）先算出加速到转用时，求出函数图象顶点坐标为，利用待定系数法分别求出加速段一次函数和下降段反比例函数； （2）分别在两个解析式里令求出对应，分段算出临界时间，再将两个临界时间相减可得出转速不低于转的时长． 【详解】（1）解：根据题意可得，转速从转加速到转时，所需时间为， 在转速增加的过程中，设关于的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 故启动阶段，关于的函数解析式为； 在转速下降过程中，设关于的函数解析式为，将点代入，得， 故下降阶段，关于的函数解析式为． （2）解：在中，令， 解得， 在中，令，得， 解得， 可得， 故从开始加速到转速下降的一个周期内，转速不低于转的时间为． 20．（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 1．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； 2．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； 3．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． 4．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 【答案】(1)500；50 (2) (3) 【分析】（1）将设备A的数据代入求出M的值，进而将设备B的数据代入即可求出a的值； （2）将分别代入，，进而求出总效率，根据即可求出所需时间； （3）根据题意列不等式求解，结合作答即可． 【详解】（1）解：将设备A的数据代入得：，解得：； 进而将设备B的数据代入得：； （2）解：当时，，， 总效率（件）， 所需时间． 答：所需时间为； （3）解：由题意，得， 解不等式，得， 结合，得． 答：环境温度（）的取值范围是． ▌课时训练 一、选择题 1．（2022九年级下·湖南益阳·专题练习）面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状． 【详解】解：的面积为，一边长为，这边上的高为， ， ， 表示三角形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支， 观察选项，只有C选项符合． 2．（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 3．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（     ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使得这款轮胎的摩擦系数高于，车速应高于 D．当车速从加速到时，该轮胎的摩擦系数减小了 【答案】C 【分析】结合给定的摩擦系数车速函数图像，读取特殊点的数值、判断函数的增减性，依次验证四个选项的描述是否正确，最终找出说法错误的选项． 【详解】解：A、汽车静止时车速，由图象可得此时摩擦系数，说法正确； B、时，图象呈下降趋势，说明摩擦系数随车速增大而减小，说法正确； C、由图象可知，车速时，且车速越大摩擦系数越小，因此摩擦系数高于时，车速应低于，原说法错误； D、时，时，摩擦系数减小了，说法正确． 4．（25-26八年级下·山西临汾·期中）某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C，D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设当时，关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ∴，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 二、填空题 5．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）化学实验室要配制一些氯化钠溶液，当溶质氯化钠的质量固定不变时，溶液的总质量（单位：）与溶质的质量分数成反比例函数，其函数图象如图所示．当溶液总质量时，质量分数为______%． 【答案】 5 【分析】先根据图象求出反比例函数关系式，再将代入关系式求出答案即可． 【详解】解：设溶液质量和溶质质量分数的函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴反比例函数关系式为， 当时，， 解得， 所以质量分数为％． 6．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时，此时的值即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 7．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 【答案】6 【分析】设反比例函数关系式为，由条件可求得解析式，求出当函数值为2时的自变量的值即可． 【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系， ∴设反比例函数关系式为； ∵当时，， ∴， 解得， 即， ∵火焰的像高为，即， ∴， 解得， 即小孔到蜡烛的距离为． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，若小明同学的眼镜近视度数为500度，那么眼镜镜片焦距为______米．（无需确定的取值范围） 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再将求值即可． 【详解】解：设眼镜的度数y与镜片焦距x的函数关系式为，根据题意，得 ， ∴函数关系式为． 当时，， 解得， 所以小明同学的眼镜近视度数为500度，眼镜镜片焦距为0.2米． 三、解答题 9．（2026·河北石家庄·模拟预测）某综合实践小组对教学楼的楼梯开展探究活动，并了解了楼梯的信息如下表，楼梯的示意图如图所示，设踏步总级数为（为正整数），歇脚台宽度为． 关于教学楼楼梯的技术参数表 踏步面宽 每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：，且每级踏步面宽相等 踏步高度 每级楼梯的垂直高度，规范要求：，且每级踏步高度相等 歇脚台 楼梯顶端与大门之间的水平平台，供行人临时停留 总进深 从楼梯最底端到大门的水平总距离，本次测量值为 总高度 从地面到大门的垂直总高度，本次测量值为 (1)当，时，求踏步高度和踏步面宽的值； (2)用含，的式子表示歇脚台宽度； (3)为最大化歇脚台使用空间，即当歇脚台宽取得最大值时，请通过计算确定最合理的踏步高度和踏步面宽，并求出此时歇脚台的宽度的值． 【答案】(1)踏步高度和踏步面宽； (2)； (3)最合理的踏步高度为，踏步面宽为，此时歇脚台的宽度为． 【分析】（）由题意可得，，然后把，代入即可求解； （）由题意得，总进深为所有踏步总水平宽度加歇脚台宽度得，然后整理即可； （）由（）得，由（）得，所以，又，则，根据为正整数，得或，然后分当和当时两种情况，分别通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，级踏步总高度为总高度，得，即；总进深为所有踏步总水平宽度加歇脚台宽度，得， 当时，， ∴时，，解得：， ∴踏步高度和踏步面宽； （2）解：由题意得，总进深为所有踏步总水平宽度加歇脚台宽度，得， ∴； （3）解：由（）得，由（）得， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，，， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为； 当时，， ∵，，， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为； ∵， ∴最合理的踏步高度为，踏步面宽为，此时歇脚台的宽度为． 10．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【答案】(1)（，且x为正整数） (2)原计划使用货车6辆 (3)至少需要8辆货车，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出时x的值，再根据增减性可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当时， ， 解得， ∴， ∵，即， ∴， 与的函数关系式为（，且x为正整数）； （2）解：设原计划使用货车辆， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）解：至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当时，， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，随增大而减小， ∴当时，， ∵为正整数， ∴至少需要8辆货车． / 学科网（北京）股份有限公司 $