第25章一元二次方程单元测试卷2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年人教版九年级数学上册第25章一元二次方程单元测试卷 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（本题3分）已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 5．（本题3分）如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 6．（本题3分）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 8．（本题3分）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 9．（本题3分）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 10．（本题3分）对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 12．（本题3分）将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 13．（本题3分）若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 14．（本题3分）对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 15．（本题3分）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 16．（本题3分）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 19．（本题8分） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 20．（本题8分）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 21．（本题9分）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 22．（本题9分）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 23．（本题10分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 24．（本题12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 试卷第4页（共5页） 试卷第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年人教版九年级数学上册第25章一元二次方程单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D A A B C C 1．C 【分析】把先移项，再因式分解后，解出即可得答案． 【详解】解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 2．B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3．B 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 4．A 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 5．D 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 6．A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 7．A 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 8．B 【分析】设每个枝干长出的小分支个数为，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每个枝干长出的小分支个数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； 故每个枝干长出的小分支的个数为6个. 9．C 【分析】根据“总利润 =单件利润 销售量”建立方程，求解后根据题目限制条件对根进行取舍． 【详解】解：由题意，设台灯的定价应为元（）． 销售单价上涨了元． 因为售价每上涨元，月销售量就减少个， 所以月销售量减少了个， 月销售量为：， 要实现每月元的销售利润， 可得， 整理方程得，， 因式分解得：， 解得：， ． ，不符合题意，舍去． 因此，台灯的定价应为元． 10．C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 11． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 12． 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 13． 【分析】根据一元二次方程根的定义得到满足的等式，通过整体变形计算所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， ∴整理得 ， 将等式两边同时乘以，得 ． 14． 或 【分析】根据定义新运算的法则，解方程即可． 【详解】解：依题意得， ， ， 或， 解得或． 15．2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，两根乘积为常数项与二次项系数的比值，代入已知根即可计算另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得， ∵， ∴， 解得． 16．2 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可. 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 17．(1)原方程无实数根 (2) 【详解】（1）解： ， ， 故原方程无实数根； （2）解： ， ， ， 或， 解得． 18．(1)3； (2)． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，将所求代数式进行通分，再代入计算即可； （2）利用，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即： ； （2）解： ． 19．(1)； (2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 20．(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 21．(1)证明：∵， ∴， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程，得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程，得 ， 解得， 将代入方程，得 ， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 22．(1)三边长分别为，， (2)不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； （2）略 23．(1) (2) (3)2025 【分析】（1）观察定义可知，一组“倒方程”之间，二次项系数与常数项互换，一次项系数相同，根据此规则求解即可． （2）先列出原方程的“倒方程”，再将代入原方程的“倒方程”后即解出常数项． （3）同样先列出原方程的“倒方程”，将代入，再将方程变形后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：． （2）解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 24．(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 答案第10页（共11页） 答案第1页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $