精品解析：江苏省常州高级中学2026-2027学年第一学期高三年级期初调研考试数学试卷

江苏省常州高级中学 2026~2027学年第一学期高三年级期初调研考试 数学试卷 命题人：杨元伟 审核人：张子睿 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 2. 设函数 在区间上单调递减，则 a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性法则把题目转化成二次函数单调性问题. 【详解】，令， 由于底数，所以指数函数在上单调递增， 因此的单调性与的单调性相同， 要使在上单调递减，必须要求在区间上单调递减. 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递减，只需满足对称轴在区间的右侧， 所以，即. 3. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 4. 已知向量a，b满足，，且对，，则=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】对两边平方，根据二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为对，， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水10cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）（ ） A. 3.4cm B. 3.8cm C. 4.0cm D. 5.8cm 【答案】C 【解析】 【分析】先求得盆中水的体积和盆口面积，进而求得这次降雨量的值. 【详解】该圆台形盆的中截面半径为（cm） 盆中水的体积为， 盆口面积为， 则这次降雨量为（cm） 故选：C 6. 已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质求出的可能取值，再根据判断函数单调性，筛选得到的正确值. 【详解】因为函数是奇函数，所以对定义域内任意，都有成立. ， 由得：， 交叉相乘整理得：对任意定义域内恒成立， 因为，故，解得.将变形为，是上的增函数. 当时，，此时为减函数，故为增函数，，不符合条件； 当时，，此时在，上单调递减，单调递减，满足，符合题意.综上，. 7. 已知点 P在曲线 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】由题． 设，则， ，当且仅当即时等号成立，， ∵，∴． 8. 从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照要求分类讨论计算即可. 【详解】由题意可分以下四种情况讨论： ①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种； ②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种； ③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种； ④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况 有种，而满足恰有个元素的有种； 故满足题意的概率为：， 故选：B 【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高的逻辑思维. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：直接求出，即可判断； 对于B：直接求出，即可判断； 对于C：直接求出，即可判断； 对于D：直接求出，即可判断. 【详解】对于A：因为复数，所以.故A正确； 对于B：因为复数，所以.故B错误； 对于C：因为复数，所以.故C正确； 对于D：因为复数，所以.故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，，且在区间内有最大值，无最小值，则可能的取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可知为函数的一条对称轴，且在处取得最大值，进而可得，，从而可求出的值. 【详解】由，且在区间内有最大值，无最小值， 可得，即为函数的一条对称轴， ∴在处取得最大值，即， ∴， 又，即， ∴的值为或. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱DD₁上的动点(不含端点)，过A，B₁，E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体被平面α所截得的截面形状为梯形 B. 存在一点E，使得点A₁和点C到平面α的距离相等 C. 正方体被平面α所截得的截面的面积随着线段D₁E的长度的增大而增大 D. 当正方体被平面α所截得的上部分的几何体的体积为 时，E是DD₁的中点 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对于A，利用面面平行的性质定理判断截面形状； 对于B，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式列方程求解； 对于C，求出截面梯形的面积关于  长度的函数，利用导数判断单调性； 对于D，利用分割法或积分法求出上部分几何体的体积关于  长度的函数，代入体积值求解  的位置. 【详解】选项A：设平面  与棱  交于点 .连接， 因为平面 平面，且平面  与这两个平面分别交于  和 ， 根据面面平行的性质定理，可得 . 又因为E是棱DD₁上的动点(不含端点)， 所以 ， 故四边形  为梯形，即截面形状为梯形，故A正确； 选项B：以  为原点， 所在直线分别为  轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为1，，则 .  . 设平面  的法向量为 ，则 ， 取 ，则 ，即 . 平面  的方程为 ，即  . 点  到平面  的距离 . 点  到平面  的距离 . 若 ，则 ，解得 ， 即  与  重合，与题意矛盾，故B错误； 选项C：由A可知截面为等腰梯形 .. 在   中，， 由  可知   为等腰直角三角形，， . 梯形的高 . 截面面积 . 令  .   . 因为 ，所以  ，函数   单调递增， 即面积  随  () 的增大而增大，故C正确； 选项D：由图可知，上半部分为三棱台，所以当E是DD₁的中点时， ,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】##0.28 【解析】 【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式计算即可. 【详解】， 得， 解得或（舍） 所以. 故答案为：. 13. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，） 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意列不等式，运算求解即可. 【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为， 则，解得， ∵，则的最小值为9， 故至少经过9次过滤才能达到市场要求. 故答案为：9. 【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序： （1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题； （2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）； （3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答． 14. 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先代入特殊值结合符号判断得到 ；对函数求导后构造辅助函数 ，研究其单调性与极限趋势，结合零点存在定理确定唯一极小值点 ；再利用导数为零的等式与最小值等式整体代换消去指数，求得，回代算出参数 . 【详解】由题意得在上恒成立， 所以，即. 因为， 所以令，则， 易得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又时，且， 当时，，的大致图像如图所示： 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时，取得最小值， 又，联立得，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且的面积为 （1）求； （2）求周长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出，得角； （2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值. 【小问1详解】 由，得， 即，则， 由，得. 【小问2详解】 ，得， 由余弦定理，有，得， 周长， 当且仅当时取等号，所以周长的最小值为. 16. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 17. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数及其图象的对称中心为． （1）求c的值； （2）判断在区间上的单调性并用定义法证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数在递增； 设，则， 由于，所以，所以， 故函数在递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性得到关于的方程，解出即可求出函数的对称中心； （2）利用函数单调性的定义即可判断函数单增, （3）问题转化为在,上的值域,，通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出即可． 【小问1详解】 由于的图象的对称中心为， 则， 即， 整理得，解得：， 故的对称中心为； 【小问2详解】 函数在递增,证明略； 【小问3详解】 由已知，的值域为值域的子集， 由（2）知在,上递增，且，故的值域为,， 于是原问题转化为在,上的值域,， 当即时，在,递增， 注意到的图象恒过对称中心， 可知在,上亦单调递增， 故在，递增，又，，故,，所以 ,，，且，解得， 当即时，在递减，在，递增， 又过对称中心，故在递增，在，递减， 故此时，，，， 欲使，，只需且， 解不等式得：，又，此时， 当即时，在,递减，在,上亦递减， 由对称性知在,上递减，于是,， 则,，，故，解得：， 综上：实数的取值范围是,． 【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 18. 已知函数 x∈， 令 其中0<t<1. （1）求不等式f(x)>2f(2x)的解集; （2）求函数f(x)的单调区间； （3）求函数h(x)在上的极值点个数. 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的单调递减区间为，无单调递增区间. （3）在上的极值点个数为1. 【解析】 【分析】（1）根据函数的概念求解定义域，结合二倍角公式和复合函数不等式问题的解法即可求解； （2）对原函数求导，结合函数的导数与函数单调性的关系即可求解； （3）对原函数求导，转化为函数零点问题，结合函数单调性与零点存在定理求解其导数正负，根据极值点处的导数性质即可求解. 【小问1详解】 已知，定义域为，因此满足，即， 因此原不等式可化为， 因为，所以原不等式等价于， 由二倍角公式得，， 令，原不等式化为，故不等式的解集为， 结合的取值范围得，不等式的解集为. 【小问2详解】 对原函数求导得，， 设，因此， 故当和时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此，故在内恒成立， 因此在内恒成立， 综上，的单调递减区间为，无单调递增区间. 【小问3详解】 因为，故化简得， 对原函数求导得，， 令，即， 令，则问题转化为在内的解的个数， 求导得，分析函数在上的单调性可知函数在此区间上单调递减， 因为，， 故根据零点存在定理和函数单调性，函数在存在唯一零点，使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故是的极大值点，对应的极小值点， 同理，在上单调递减，而时，， 故在上恒为负， 在上单调递增，且， 根据零点存在定理，在内有且仅有一个零点，且是唯一的极小值点， 故在上的极值点个数为1. 19. 对整数，设是一个由个不同的正整数组成的行列的数表.若存在，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表是一个阶“好数表”，(为数表的特征数） （1）数表是否为“好数表”?如果是，指出其特征数；如果不是，请说明理由： （2）求证：若数表是阶“好数表”，则的特征数是唯一的； （3）若，且数表是一个“好数表”，对任意的，，有，记的特征数为，求的数学期望. 【答案】（1）数表是“好数表”，特征数为3. （2）假设数表的特征数不唯一，存在两个不同的特征数和. 若，则两个元素为同一行的两个最大值，与一行最大值唯一矛盾； 若，则两个元素为同一列的两个最小值，与一列最小值唯一矛盾； 若且，由是第行最大值得， 由是第列最小值得， 由是第行最大值得， 由是第列最小值得， 联立得， 则， 与题设个不同正整数矛盾，故假设不成立，的特征数是唯一的. （3）5 【解析】 【分析】（1）先找出每一行最大值与每一列最小值，发现满足题意，从而可判断； （2）利用反证法，假设存在两个不同特征数，利用特征数定义推导得出矛盾，从而证明特征数唯一； （3）先确定特征数的取值范围，然后计算每一个取值所对应的好数表数量，再代入期望公式即可求得. 【小问1详解】 数表是“好数表”， 因为第1行的最大值，第3列的最小值为3，所以特征数为3. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，，数表由1，2，…，9这9个互不相同的正整数构成. 设特征数为，根据“好数表”特征数定义： 是所在行的最大值，且是所在列的最小值. 所在行还有另外2个元素，这2个数必须是小于，因此至少要有2个比小的数，即； 所在列还有另外两个元素，这2个数必须大于，因此至少要有2个比大的数， 即， 即，解得，故随机变量的可能取值为3，4，5，6，7. 记以为特征数的好数表数量为， 因为从个比小的数中选2个，排在特征数同行剩余2格，共有种，从个比大的数中选2个，排在特征数同列剩余2格，共有种，剩余4格数字，填入剩下的4格，共有种， 因此， 所以， ， ， ， ， 总好数表数为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 2026~2027学年第一学期高三年级期初调研考试 数学试卷 命题人：杨元伟 审核人：张子睿 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 2. 设函数 在区间上单调递减，则 a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量a，b满足，，且对，，则=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水10cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）（ ） A. 3.4cm B. 3.8cm C. 4.0cm D. 5.8cm 6. 已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 7. 已知点 P在曲线 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且在区间内有最大值，无最小值，则可能的取值有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱DD₁上的动点(不含端点)，过A，B₁，E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体被平面α所截得的截面形状为梯形 B. 存在一点E，使得点A₁和点C到平面α的距离相等 C. 正方体被平面α所截得的截面的面积随着线段D₁E的长度的增大而增大 D. 当正方体被平面α所截得的上部分的几何体的体积为 时，E是DD₁的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，） 14. 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且的面积为 （1）求； （2）求周长的最小值. 16. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 17. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数及其图象的对称中心为． （1）求c的值； （2）判断在区间上的单调性并用定义法证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 18. 已知函数 x∈， 令 其中0<t<1. （1）求不等式f(x)>2f(2x)的解集; （2）求函数f(x)的单调区间； （3）求函数h(x)在上的极值点个数. 19. 对整数，设是一个由个不同的正整数组成的行列的数表.若存在，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表是一个阶“好数表”，(为数表的特征数） （1）数表是否为“好数表”?如果是，指出其特征数；如果不是，请说明理由： （2）求证：若数表是阶“好数表”，则的特征数是唯一的； （3）若，且数表是一个“好数表”，对任意的，，有，记的特征数为，求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $