江苏省常州市江苏省前黄高级中学2025-2026学年高三上学期期初适应性练习数学试题

2026届高三第一学期期初适应性练习 (数学) 命题：朱建新 审核：周永兴 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.设全樂U={-2,-1,0,12,3),集合A={-12,-2},B={x2-3x+2=0,则(AUB)=() A.{1,3} B.{0,3 c.(-2, D.{-2,0 2.若复数2满足乙+1 2行=1+i,则2的建部是（) A.-2 B.2 C.-2i D.2i 3.已知向量a,6满足同=l同=a+6=1,则向量a-36在向量ā上的投影向量为（多 A知 c.-2a D.4a 4.函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（) 月 a月 C.π D.2元 5若实数x,y满足x2+y+y=1,则x1y的最小值是( A.25 C. 3 B.-25 3 3 n. 6.B知0.3=2”=0.4，则( A.mn<m+n<0 B.m+n<mn<0 C.mn<0<m+n D.m十a<0<mn 7.已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内，且CD=3C官-2C,若AC=xAB+yBE, 则x+y=() A.5 B.7 C.9 D.11 8.如图，四边形ABCD中，AD⊥AC,AB⊥BC,∠ACD=∠ACB,BD=CD,则cOS∠BCD=,) 4⑤ 01 3 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多：守合题 目要求，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9.已知函数f(x)=Asi血(@x+p)(A>0,w>0,网<)的部分图象如图所示，其中aCMN为等边三角形， 点M的坐标为(1,0)，则( B. C.直线x=7是f(x)图象的一条对称轴 D.将/（内的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数&(-25n(行x+星到的图象重合 10.若△1Bc的内角4，B,C所对的边分别为a,6,6,且满足b-3a十6$i血24+B=0,则下列结论正确 2 的是（) A角C一定为锐角 B.3a2+5b2=3c2 C.4tan 4+tanC=0 D.amB的最大值为 设通数f)-(任+0a(++1(ae),则下列正确的是（） 11. A.当a=1时，f(x)没有零点 B.当a<0时，f(x)在区间(0，+∞)上不存在极值 C存在实数a,使得曲线y= 1-x 为轴对称图形D.存在实数a,使得曲线y= 为中心对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.命题“xe[1,2],X2+nx-2a≤0为假命题”，则实数a的取值范围为 1B.已知(Qa+)-子.coco(a+-)=7:则ma+如a+月- 14.已知函数f(x)=x2-x-1+a血x在(0,2)上的最小值为-1，则实数a的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步臻 15.(本题满分13分)在△ABC中，a,b.c分别为角A,B,C的对边，且(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角B的大小；(2)若b=V5,设角A的大小为x,△ABC的周长为y,求y=f(x)的最大值 16体据满分15分》已蜘函数f儿)=女-2心+受) (1)若a=é2，求函数y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程；(2)讨论∫(x)的单调性， 17.(本题满分15分)某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、 丙芯片第一次光刻的良品率分别为；，子，只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否侧为园 品被海达，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，4,4 4’5’5 ，第二次光刻的良品才是合格品 (1)若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该 芯片是良品的概率； (2)甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、 乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为X,求X的分布列与数学期望。 18.(本题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,∠ADC-90°，平面 PD⊥廉面ABCD,2为AD的中点，M是梭PC(不与端点重合上的点，PA=PD=2,BC子D=l,CD=尽 (1)求证：平面PBC⊥平面POB: (2)当PM的长为何值时，平面OMB与平面PDC所成的角的大小为60°？ 19.(体题清分17分》已知函数f()=2x-ahx(a∈R),设f(的图象在x=1处的阿线为6 y=kx+b. (1)若a=1,证明：当x>0时，f(x)≤e+b: (2)若f(x)有三个零点为，x2,为3（为<x2<为）· ()求a的取值范围；(i)证明：2(a-1)x+(a+2)x>3a, 参考答案： 一、单选 BAABB ADB 二、多选 9.BCD 10.BCD 11.ABC 三、填空 1 12. -,2+h2 13. 4 14.-1 四、解答 15.(①)已知(2a-c小cosB=bcosC,由正弦定理，品==c=2R(R为△ABC外接圆半 径)，可得a=2 RsinA,b=2 RsinB,c=2 RsinC。 将其代入(2a-c)cosB=bcosC得： (2×2 RsinA-2 RsinC)cosB=2 RsinBcosC,化简为(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC。 展开得2 sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,移项得2 sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB。 根据两角和的正弦公式sin(a+B)=sinacosB+cosasinB,可得2 sinAcosB=sin(B+C)。 因为A+B+C=π，所以B+C=π-A,sin(B+C)=sin(π-A)=sinA。 则2 sinAcosB=sinA,因为0<A<元所以sinA≠0，两边同时除以sinA得cosB= 又因为0<B<m,所以B=号 ②由正孩定理品=点=女已知6=5.B=背则品=品-写 可得a=2sinx,c=2sin(停-x)】 △ABc的周长y=a+b+c=2sinx+V3+2sin(-x刘 2π 2π -2sinx ++sin 3 cosx-cos3 sinx) =2r++2(停r+n =2sinx +V3+V3cosx +sinx =3sinx V3cosx+3 (slnxcos cosi+ =2W3sin(x+)+v3。 因为0<x<警所以当x+普=？即x=时，si血(c+)取得最大值1. 此时ymm=2W3×1+V3=3V3。 16 解：(1)a=e2,fx)=(x-2ex+e28), 2 F(x)=(ex.e2x)+(x-2)(ex.e2) 2 2 ∴f(2)=2e2,又f(2)=0,切线方程为 2e2x-y-4e2=0; (2)f(x)=(x-2)(ex+a),f(x)=(x-1) 2 (ex+a), ①当a20时，当x∈(-∞，1)时，f(x)<0, f(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,f(x)单调 递增， ②当a=-e时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递 增， ③当-e<a<0时，ln(-a)<1,当x∈(-∞， ln（-a)）时，f'(x)>0,f(x)单调递增 当x∈(In(-a),1)时，f(x)'<0,f(x) 单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调 递增， ④当a<-e时，ln（-a)>1,当x∈（-∞，1) 当xe(ln(-a),+∞)时，f'(x)>0,f (x)单调递增， 综上所述：①当a≥0时，f(x)在(-∞，1)上 单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ②当a=-e时，f(x)在R上单调递增 ③-e<a<0时，f(x)在(-∞，In(-a)) (1,+∞)单调递增，在(In（-a),1)上单 调递减， ④当a<-e时，f(x)在(-∞，1)和(In(- a),+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上 单调递减 17. (1)从第一次光刻后的良品中任取3枚甲、2枚 乙、1枚丙，每枚芯片第二次光刻的良品率分别 为甲？、乙号、丙号任取一枚时，该芯片是 合格品的概率为各类型芯片被选中的概率与其 第二次良品率的乘积之和： p=3.3+24+14-34,2 3$。58+5+ (2)甲、乙、丙各一枚的合格概率分别为： 0甲：4.33 54=5 z经-是 °丙：5.4、2 65=3 每枚芯片的利润为合格赚100元，不合格亏 25元。总利润X的可能取值及概率： 0X=30全合格)：慰率号号号=品 。X=175(两合格-不合格)：概率 25 ©X=0(合格两不合格)：概率后： 。X=-75(全不合格)：概率4。 759 数学期望： E(X)=300.6 5 25+50.4 +175.1 15 5 18. ():AD11BC,Q为AD的中点，BC=号4D, BC//OD,BC=OD, 四边形BCDO为平行四边形，∴BQ/CD, :∠ADC=90°，.∴BC⊥BQ :PA=PD,AQ=OD,PQ⊥AD 又：平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面 ABCD=AD, ,PQ⊥平面4BCD,.PQ⊥BC又：POnBO=Q, BC⊥平面PQB. :BCc平面PBC,.平面PBC⊥平面PQB. (2)由(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图，以Q为原 点，分别以QA,QB,QP所在直线为轴，轴，z 轴，建立空间直角坐标系， B市 则Q0,0,0),Dl,0,0),P0,0,V5),B0, 5,0,Cl,5,0), 0B=0,5,0,DC=0,V5,0,Dp=(1, 0,5.P心=l,5,5) Pc=e+W5'+52=万 设P7=P心，则pM(以，5,5)，且 0<<1,得M2,V5,5-V5). Qi=(以，5,51-》 设平面MBQ的法向量为m=(x,y,), 则/Oim=0,即x+5+5E=0, @Bm=0,’5y=0. 令x5,则y=0,合 平面MB0的一个法向量为-(5,0，立) 设平面PDC的法向量为方=，y,z, 则DC才=0，即 5y=0, D驴元=0 x+52=0. 令'3，则0,25， .平面PDC的一个法向量为元=-(3,0，V5) ·平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为 60° 厉前 55立 'cos60°= nm 反3+() PN-frc- 即当PM5时， 平面OMB与平面PDC所成的角大 小为60° 19. L.当a=1时，证明f(x)≤kx+b对所有 x>0成立 1.求切线方程： 函数)=2(e- lnx,在x=1处： 。f(1)=0, o导数f'(x)= 2(+)故 f'(1)=3 切线方程为y=3x-3(即k=3,b=-3 )。 2.构造差值函数： 设 =fa-6r-8)=-t-2-nz+3。 。g(1)=0, 。号数似=1十是，解得临界点 x=1, 3,在x=1处 。二阶导数g()=2,4 g(1)=-3<0,说明x=1是极大值点。 因此，g(x)≤0对所有x>0成立，即 f(x)≤3x-3。 I.若f(x)有三个零点c1<x2<x3 ()求a的取值范围 3.导数分析： 函数f)=2(2-1 -alnx,导数为 f()=2+ 2 a 令f'(x)=0,得二次方程2x2-ax+2=0, 其判别式△=a2-160 。当a>4时，存在两个正根 x1=a-va2-16 (极大值点)和 2=a+va216 (极小值点)。 4.极值点函数值符号： 。极大值点x1处f(x1)>0, 。极小值点x2处f(x2)<0。 结合x→0+时f(x)→-o和x→+∞ 时f(x)→+o∞，函数有三个零点。 结论：a>4o (im)证明2(a-1)x1+(a+2)x3>3a 5.零点对称性： 由方程2(x- 1 alnx,若x1是零点，则 x3= 1也是零点。 6.不等式变形 1 代入x3= ,需证2a-11+a+2>3如 1 两边乘以x1得二次不等式 2a-1)x子-3ax1+a+2)>0。 o判别式△=(a-4)2≥0，根为x1=1或 a+2 x1=2a-19 。当4时，1<2+品<1，故不等 式成立。