江苏徐州市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次调研测试数学试题

徐州一中2026—2027学年度第一次调研测试 数学试题 说明： 1.请在答题卡/纸的相应位置内填写学校､班级､姓名､考号等. 2.请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分. 3.如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足：，则（ ） A.-1 B. C.1 D. 3.已知等差数列满足：，，则（ ） A.2025 B.2026 C.4050 D.4052 4.已知，则（ ） A. B. C. D. 5.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6.已知，，则（ ） A.若，则 B.若，则 C.若互斥，则 D.若互斥，则 7.某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形.若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8.在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知两个线性相关变量，的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 1 2 4 5 8 11 15 25 45 A.当时，的估计值为 B. C.这组数据的样本中心为 D.样本相关系数 10.已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A.B.的最小值为2 C.的最小值为4D.的最小值为2 11.已知曲线C：，下列结论正确的是（ ） A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C.曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D.曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横､纵坐标均为整数的点） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线：的一条渐近线方程为x—2y=0，则双曲线的离心率为______. 13.在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________. 14.设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，.若对任意有（为常数），，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败.甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望. 16.（本小题满分15分） 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 17.（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18.（本小题满分17分） 已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 19.（本小题满分17分） 已知. （1）证明：； （2）设，，已知，且对，. （i）若，求数列的前项和； （ii）若存在无数个使得满足条件的数列有且只有1个，求的所有取值. 徐州一中2026-2027学年度 数学试题参考答案 一､选择题： 1.C 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B 7.B 8.C 二､选择题： 9.AC 10.ABD 11.AC 三､填空题： 12. 13. 14. 四､解答题： 15.（1）设“第次成功取款”， 则事件“不超过2次就成功取款”可表示为. 则. （2）根据题意，可能的取值为1，2，3. 记“最后1位密码为偶数”， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 故随机变量的期望. 16.（1）由已知得，又， 所以，又， 所以. 因为，所以，所以. 又，所以. （2）由及得：. 所以，， 即 ， 因为，所以， 在中，当时，取得最大值1. 所以面积的最大值是. 17.（1）因为，所以. 在直三棱柱中，有底面侧面， 因为平面，平面平面， 所以平面. 在平面内过点作直线，以所在的直线分别为轴､轴､轴建立如图所示空间直角坐标系. 则. 所以， 设为平面的一个法向量， 则得， 令，则，则. 又.则，所以. 又平面，所以平面. （2）由（1）可知，. 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，则. 由（1）可知，平面的一个法向量是. 所以，. 所以，二面角的正弦值是. 18.（1）圆的圆心为，半径， 线段的垂直平分线与直线交于点，故， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 所以， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线，设其方程为， 则，则， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）设直线， 联立，得， 则， ， 所以 ，解得， 故直线的方程为，即直线过定点； （ii）设，则直线的方程为，其中， 联立，可得， 则，将以及代入可得： ， 则，所以，则， 同理， 设直线，代入点的坐标得， 整理得，同理可得， 所以可知直线的方程为，即， 令，解得， 即直线过定点. 19.（1）因为，即， 整理可得， 所以. （2）由题意可知：， 因为，即，则， 可得或， 若，则， 因为，则，可得， 此时对，符合题意； 若，则， 可得， 且，则； 设递推公式1：； 递推公式2：； 综上所述：数列满足递推公式1或2. （i）若，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 因为，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，可得， 可知数列是以首项，公差为的等差数列， 所以； （ii）， 因为满足条件的数列有且只有1个， 若，则有： ①若，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 因为，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，即， 则数列是以首项，公差为的等差数列，此时数列有且只有1个，符合题意； ②若，根据递推公式1或2均可得，不符合题意； ③若且，根据递推公式1或2可得或，此时，所以， 即或均满足数列， 此时数列不唯一，不合题意； 综上所述：； 若，则不满足递推公式2，根据递推公式1可得， ①若，则， 可知不满足递推公式2，根据递推公式1可得， 依次类推，可知对任意均不满足递推公式2，即， 则数列是以首项，公差为的等差数列，此时数列有且只有1个，符合题意； ②若，则，且， 根据递推公式1或2可得或， 若，则，显然不成立， 故，此时数列不唯一，不合题意； 综上所述：. 学科网（北京）股份有限公司 $