精品解析：江苏省泰州中学2026届高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期10月月考 数学试题 命题人：许志城 审题人：孙娟 一、选择题 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据虚部概念得解. 【详解】.故虚部为1. 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系. 【详解】， ， 因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则， 故选：A. 3. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由常数代换以及基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 4. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称列不等式，由此求得. 【详解】因为是奇函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为，函数是奇函数. 5. 等差数列中，其前n项和为，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，化简条件，确定的正负，由此判断数列的单调性， 判断充分性，再由数列的单调性推出，由此判断的大小关系，判断必要性，由此可得结论. 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得， 所以，即， 所以为递减数列， 所以“”是“为递减数列”的充分条件， 若为递减数列，则， 所以， 所以， 所以“”是“为递减数列”的必要条件， 所以“”是“为递减数列”的充分必要条件， 故选：C. 6. 已知，若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】设并由条件求出的范围，代入化简后求出的值，得到与的关系式代入化简后列出方程，求出的值，进而求解. 【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）. 所以，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以， 故选：. 7. 已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于的方程求解. 【详解】因为， . 又， 所以. 故选：A 8. 已知数列满足，，，则下列结论中不一定正确的是 A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合与可知，，将选项变形即可证明其正确性. 【详解】因为，，所以有. 又因为，所以 对于A选项，，故成立； 对于B选项，，故成立； 对于C选项，，故不成立； 对于D选项， ，故成立. 故选：C. 【点睛】本题结合数列考查不等关系，属于中档题.将选项中的不等式变形成可利用题干信息的不等式是解本题的关键. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列命题错误的有（    ） A. 若，则存在，使得 B. 若是等边三角形，则，的夹角为 C. D. 若，则与的夹角θ是钝角 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项：若时，此时，但不存在使得，故A错误； B选项：等边三角形中，与起点平移重合后的夹角为，故B错误； C选项：向量三角不等式当且仅当同向时取等号，故C正确； D选项：当，则与的夹角θ可能是钝角或者，故D错误. 10. 已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个零点 C. 是曲线的一个对称中心 D. 当时，函数取得极值 【答案】AB 【解析】 【分析】由最小正周期求出 ，由 恒成立知 为最大值，据此解出 并把 化为正弦型函数，再逐项检验——单调性看整体角所在区间、零点个数看正弦在该区间的零点、对称中心看 是否为 、极值看该点是否为最值点，从而确定正确答案. 【详解】 ， ， 对于恒成立， ，解得， . 对于A，， ， 所以在区间单调递减. 对于B，，， 在上有两个零点，故在区间有两个零点，B正确； 对于C，， 故不是曲线的对称中心，C错误； 对于D，，故当时，函数不取极值，D错误； 11. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线所成的角的正切值为 B. 直线与平面平行 C. 点与点到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】.根据，得到直线与直线所成的角求解； .取中点，连接，，利用面面平行的判定定理和性质定理判断；.假设与到平面的距离相等，转化平面是否过的中点判断； .根据，把截面补形为等腰梯形判断. 【详解】如图所示： .因为，所以直线与直线所成的角，，故正确； .取中点，连接，， 在正方体中，，， 平面，平面， 所以平面，同理可证平面，， 所以平面平面， 平面，所以平面，故正确； .假设与到平面的距离相等，即平面将平分， 则平面必过的中点，连接交于，而不是中点， 则假设不成立，故错误； .在正方体中，， 把截面补形为等腰梯形，易知， 之间的距离为， 所以其面积为，故正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 名同学排成一排照相若甲､乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的排法有________种. 【答案】 【解析】 【分析】将甲、乙捆绑后和第名同学排好，再让丙、丁插空进来即可求解. 【详解】首先，甲、乙捆绑有种情况，然后和第名同学排好有种情况，再让丙、丁插空进来有种情况， 因此不同的排法有种. 13. 函数的极小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数求函数的极小值即可. 【详解】由，则， 令，解得或， 则当，时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 因此当时，函数取得极小值. 14. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，设向量，，，. （1）求函数的最大值； （2）若，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得，利用降幂公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求最大值； （2）解得，由利用正弦定理边化角得，再结合余弦定理求得，面积公式求的面积． 【小问1详解】 . 因为，所以， 所以当，即时，有最大值； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理，所以，， 又因为，所以，得， 由余弦定理有：，即，所以， 所以． 16. 如图，边长为4的两个正三角形， 所在平面互相垂直， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，，直线 与平面相交于点 . （1）证明：； （2）求直线 与平面的距离. 【答案】（1）证明：因为 、 分别为 、 的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面 ，平面平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）连接, ，以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为 与平面的距离， 连接, ，由均为正三角形， 为 的中点，得， 又平面平面 ，平面平面平面， 于是 平面 ，又平面 ，则， 以点 为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，又，， 又，可得， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以 与平面的距离为. 【点睛】 17. 设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有． （1）求证：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）证明:数列中，，则， 两式相减得，即，因此， 又当时，，得   即， 所以数列是首项为5公比为2的等比数列． （2）证明:由（1）得，即， 则有，又， 因此是常数数列，即，则， 从而 所以 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义判断即得. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 设椭圆的右顶点为，上焦点为，直线与椭圆交于不同于的两点，． （1）是否存在，使为的重心，试说明理由； （2）已知， （i）证明：恒过定点； （ii）设点在上，且满足，是椭圆上的动点，求的最大值． 【答案】（1）不存在，使为的重心，理由如下： 根据题意，， 设，，假设存在，设直线的斜率为，使为的重心， 所以，解得， 又，两点为椭圆上的点，则，两式相减得 ，所以， 设，两点中点为，则坐标为，故， 所以直线为，即直线：， 将直线代入椭圆方程，得到， 化简得到，则其判别式为， 所以直线与椭圆无两个交点，故不存在直线，使为的重心. （2）（i）证明：设直线：，与椭圆方程，联立得，， 所以，，， 因为，所以，， 所以， 所以，， 代入得，解得或， 因为直线与椭圆交于不同于的两点，所以，，则恒过定点. （ii）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用反证法进行证明即可. （2）（i）设直线方程为，与椭圆方程联立，通过，进行计算即可. （ii）根据，可知，点在以为直径的圆上，对是否为进行讨论即可. 【小问1详解】 不存在，使为的重心，理由略； 【小问2详解】 （i）略； （ii）已知直线：，设，由，知， 所以点在以为直径的圆上，且圆心，半径， 因为，所以椭圆上一点到圆心的最大距离为， 所以当时，最大距离为，所以的最大值为， 所以的最大值为. 19. 已知. （1）当时，过原点作函数的切线，求切线的方程； （2）讨论函数的导函数的单调性； （3）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）易知， 令， 则， ①当时，，则在上递减； ②当时，令，可得； 所以在区间上单调递增，在上单调递减； ③当时，令，即； 所以在区间上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线点斜式方程即可求解； （2）对函数求导，并对的取值进行分类讨论即可求得函数的单调性； （3）根据（2）中的结论可求得函数在区间内的最值，再由即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 设切点为，切线方程为 因为切线过原点，所以，即，解得； 所以，因此； 即切线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知， ①当时，，因为，所以， 所以在上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又因为，所以，所以在区间上单调递增， 又因为，所以时，. ②当时，令，可得， 则函数在区间上单调递减； 因为，所以在区间上小于零， 所以在区间上递减， 又因为所以当时与条件矛盾. ③当时，因为，所以， 所以函数在区间上单调递减， 因为，所以在区间上小于零，所以在区间上递减， 又因为，所以与条件矛盾， 综上可得，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期10月月考 数学试题 命题人：许志城 审题人：孙娟 一、选择题 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 4. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列中，其前n项和为，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，，则下列结论中不一定正确的是 A. ， B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列命题错误的有（    ） A. 若，则存在，使得 B. 若是等边三角形，则，的夹角为 C. D. 若，则与的夹角θ是钝角 10. 已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个零点 C. 是曲线的一个对称中心 D. 当时，函数取得极值 11. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线所成的角的正切值为 B. 直线与平面平行 C. 点与点到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 名同学排成一排照相若甲､乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的排法有________种. 13. 函数的极小值是______． 14. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，设向量，，，. （1）求函数的最大值； （2）若，，，求的面积. 16. 如图，边长为4的两个正三角形， 所在平面互相垂直， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，，直线 与平面相交于点 . （1）证明：； （2）求直线 与平面的距离. 17. 设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有． （1）求证：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和为，求证：． 18. 设椭圆的右顶点为，上焦点为，直线与椭圆交于不同于的两点，． （1）是否存在，使为的重心，试说明理由； （2）已知， （i）证明：恒过定点； （ii）设点在上，且满足，是椭圆上的动点，求的最大值． 19. 已知. （1）当时，过原点作函数的切线，求切线的方程； （2）讨论函数的导函数的单调性； （3）当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $