精品解析：江苏无锡市市北高级中学2026-2027学年第一学期高三9月阶段性检测数学试卷

无锡市市北高级中学2026―2027学年第一学期 高三年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.09 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合M，再求对数型复合函数定义域求出集合，再根据补集和交集运算求解即可. 【详解】， 所以或， 又， 所以. 故选：D 2. 已知函数且的图象经过定点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用对数函数的图象性质求出所过定点坐标即得. 【详解】当，即时，对任意且，恒有，即的图象过定点， 所以点的横坐标为2. 故选：C 3. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算性质即可求解. 【详解】由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为： 故选：C. 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数的一个极大值点 D. 是函数的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 5. 已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先讨论得出的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，定义域为，. 若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去； 当时，由可知，或（舍去）. 当时，有，所以在上单调递减； 当时，有，所以在上单调递增. 由已知函数在上不是单调函数， 所以应有，所以. 故选：A. 6. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 7. 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案. 【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数，在同一坐标系中可作出其图象： 由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点， 则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点， 则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为， 故选：D 8. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，即与有三个交点，作出的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由，得，由已知与有三个交点， 由， 令，得， 由在单调递减，又在单调递增， 所以在单调递减， 作出的函数图象： 由图象可知：， 所以， 所以， 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. 是函数的零点 B. 的极大值点为 C. 的图象关于点中心对称 D. 使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题目条件结合函数零点、导数与极值、函数图像的对称性、不等式与单调性等性质逐一分析判断选项. 【详解】选项A：计算，故是零点，A正确. 选项B：由，令得开口向上， 较小根处导数由正变负，故为极大值点，B正确. 选项C：计算，， 则恒成立，故图象关于点中心对称，C正确. 选项D：由函数图象关于点中心对称可知，不等式化简为， 当时，单调递增且，故，，D错误. 故选：ABC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若实数满足，则 B. 若，则的取值范围是 C. 若正实数满足，则的最大值为 D. 若正实数满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】应用作差法计算判断A，应用不等式的性质计算判断B，应用基本不等式计算判断C，特殊值法计算求解判断D. 【详解】实数满足，则， 因为，所以，所以，所以，A选项错误； 因为，则，则的取值范围是，B选项正确； 正实数满足，则，所以，当且仅当时取最大值为，C选项正确； 正实数满足，取，，D选项错误. 故选：BC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由B知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处的切线也是的切线，则实数____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得的切点，即得. 【详解】因为， 所以，，， 所以函数在处的切线为， 又，由，可得， 所以， 所以. 故答案为：3. 13. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别确定和时的最小值，再通过大小构造不等式求解即可. 【详解】当时，由， 可得在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 由题意，，则，解得. 故答案为：. 14. 各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的是十进制，通常我们用函数表示在进制下表达个数字的效率，则二进制、三进制、八进制、十进制中表达效率最高的是______． 【答案】三进制 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，利用函数的单调性结合导数的运算性质可得问题答案. 【详解】因为，，. 所以. 由. 所以有；由. 所以在上单调递增；在上单调递减. 又因为. 所以. 所以三进制表达效率最高. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx. （1）求函数f(x)的解析式； （2）解不等式f(x2－1)>－2. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用函数的奇偶性可求得函数的解析式； （2）利用偶函数和函数在上的单调性，列出不等式得出解集． 【详解】（1）当x<0时，－x>0，则f(－x)＝. 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝， 所以函数f(x)的解析式为 （2）因为f(4)＝，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4). 又因为函数f(x)在上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－<x<， 即不等式的解集为． 【点睛】本题考查函数性质的应用，考查解不等式，考查分段函数，属于中档题． 16. 已知函数． （1）若存在，使成立，求k的取值范围； （2）已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【小问1详解】 由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； 【小问2详解】 ， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） （1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值； （2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解. 【小问1详解】 时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. 【小问2详解】 . 当时，可得， 在时单调递减， 则； 当时，可得， ， 则当，即时，， 又，. 18. 已知函数，其中． （1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若集合中有且仅有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出切线斜率为时的切点，进而求出参数值； （2）根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数导数，根据参数的范围，求出函数定义域，进而根据参数范围求出函数单调性； （3）根据参数的范围，结合函数单调性，判断不等式只有一个整数解的情况，列出不等式组，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得，解得. 【小问2详解】 已知，得； 当时，定义域为， ，二次函数图象开口向上，且， 令，在必有解， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增； 当时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 【小问3详解】 由可知，， 当时，在上单调递减，若集合中有且仅有一个元素， 则，即，即， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 可知，所以集合中有且仅有一个元素， 则，即，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 19. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. （1）比较和的大小； （2）当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性得出，即可得出和的大小； （2）（i）由已知可得， 方法一：讨论与的大小，结合对数函数的单调性分析即可； 方法二：设，则，分析可知函数在上为增函数，再构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可知在存在唯一的零点，可得出，即可得出，即可证得结论成立； 方法三：等式两边除以可得，即，构造，分析函数在上的单调性，可得出，由（1）可知、，进而得出； （ii）由题意得出，只需比较与、的大小，构造函数，则，利用零点存在定理可得出，再由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大，可得出，化简得出关于的不等式，解得，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得：，，则，所以， 当时，则在定义域内单调递减，解得，所以； 当时，则在定义域内单调递增，解得，所以. 综上所述，，即，即. 【小问2详解】 （i）当时，则， （方法一）①假设，则，即， 由，且，所以，则， 所以，与已知矛盾，故假设不成立； ②假设，则，即， 由，且＞0，所以，则， 所以，与已知矛盾，假设不成立； ③当，则，可得，符合题意； 由①②③可得：. （方法二）设，则是的零点， 对、，且，因为在单调递增， 则，，， 可得，，即， 故在单调递增，所以函数有唯一的零点， 设，对、，且， 因为都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 且，， 故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点， 则满足，即，可得，即， 故，即， 所以的零点即为的零点，所以，即. （方法三）等式两边除以可得， 变形得：， 构造，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即， 故在上单调递增，且， 由（1）可知：当时，则，所以，，所以. （ii）， 由（1）可知，故只需比较与、的大小， 设，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 因为，且，即，所以， 由（i）得，则，故； 由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大， 所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率， 即，化简得，所以， 解得或（舍去）， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2026―2027学年第一学期 高三年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.09 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 已知函数且的图象经过定点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数的一个零点 B. 函数在区间上单调递减 C. 为函数的一个极大值点 D. 是函数的最大值 5. 已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. 是函数的零点 B. 的极大值点为 C. 的图象关于点中心对称 D. 使得 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若实数满足，则 B. 若，则的取值范围是 C. 若正实数满足，则的最大值为 D. 若正实数满足，则 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处的切线也是的切线，则实数____________. 13. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是__________. 14. 各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的是十进制，通常我们用函数表示在进制下表达个数字的效率，则二进制、三进制、八进制、十进制中表达效率最高的是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx. （1）求函数f(x)的解析式； （2）解不等式f(x2－1)>－2. 16. 已知函数． （1）若存在，使成立，求k的取值范围； （2）已知，若在上恒成立，求k的最小值． 17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） （1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 18. 已知函数，其中． （1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若集合中有且仅有一个元素，求的取值范围． 19. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. （1）比较和的大小； （2）当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $