精品解析：浙江省衢州实验学校教育集团2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级（上）12月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 竹篮打水 C. 画饼充饥 D. 守株待兔 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 3. 关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（ ） A. 顶点坐标相同 B. 对称轴相同 C. 图象形状相同 D. 最低点相同 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个三角形的重心是该三角形（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 以上都是 6. 如果说秋天有颜色，那一定是枫叶红，奇妙的大自然其实也蕴含着许多数学知识，如同校园里一片飘落的枫叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，是一片枫叶的轮廓图，点为的黄金分割点（），若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为半圆的一条弦（非直径），连结、，分别以、为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点，连结，交于点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若和满足下列条件，其中能使的是（ ） A. ，，，，， B. ，，，，， C. ，，，，， D. ，，，，， 9. 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（ ） A. 1米 B. 3米 C. 5米 D. 米 10. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的内角和为___． 12. 某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.803 0.801 由表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为______（保留小数点后一位）． 13. 如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转180°得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．若在第2023段抛物线上，则______． 14. 如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为___________． 15. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为_____． 16. 如图，在矩形中，点E是边上的一点，点F，G分别是的中点，延长，交于点H．若，则的长为______． 三．解答题 17. 如果一个二次函数图象经过、、三个点，那么请解决以下问题： （1）求这个二次函数解析式； （2）若这个二次函数解析式表示为（，a、b、c为常数），则 ①时，自变量x的取值范围为_________； ②时，方程的两根分别为_________； ③时，自变量x的取值范围为_________． 18. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心的坐标为___________； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为___________；（结果保留根号） ②点在___________；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则弧的长为___________． 19. 一个布袋里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同． （1）从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为_____； （2）若从布袋中先摸出一个球，无放回，再从口袋中摸出一个球，用树状图法求出两次摸出的球都是红球的概率是多少？ 20. 如图，在中，是边上的高，点D在边上，交于点O，且，是的平分线，交于点F，交于点G．求证： （1）； （2）． 21. 如图，为的直径，为弦，点D为的中点，过点D作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径长． 22. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？ 如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？ 23. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标． 24. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若半径为6，，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）12月月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 竹篮打水 C. 画饼充饥 D. 守株待兔 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、瓜熟蒂落是必然事件； B、竹篮打水是不可能事件； C、画饼充饥是不可能事件； D、守株待兔是随机事件； 故选：D． 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断． 【详解】解：∵ ，的半径， ∴ 半径， ∴ 点P在内， 故选：A． 3. 关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（ ） A. 顶点坐标相同 B. 对称轴相同 C. 图象形状相同 D. 最低点相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵点A、B、C在上，， ∴， 故选：B． 5. 一个三角形的重心是该三角形（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 以上都是 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三条中线的交点是三角形的重心解答即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据三角形三条中线的交点叫作三角形的重心， 故选：C． 6. 如果说秋天有颜色，那一定是枫叶红，奇妙的大自然其实也蕴含着许多数学知识，如同校园里一片飘落的枫叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，是一片枫叶的轮廓图，点为的黄金分割点（），若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割比为，即可求解． 【详解】解：∵点为的黄金分割点（），， ∴， 故选：A． 7. 如图，为半圆的一条弦（非直径），连结、，分别以、为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点，连结，交于点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，由，，可得为线段的垂直平分线，即可判断；根据三线合一即可判断；由已知不能确定与圆的半径是否相等，即无法确定是否是等边三角形，即可判断；掌握线段线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴为线段的垂直平分线， ∴，，故选项正确； ∵，， ∴， 即，故选项正确； ∵由已知不能确定与圆的半径是否相等， ∴无法确定是否是等边三角形， 即无法确定是否等于，故选选不一定正确； 故选：． 8. 若和满足下列条件，其中能使的是（ ） A. ，，，，， B. ，，，，， C. ，，，，， D. ，，，，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 9. 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（ ） A. 1米 B. 3米 C. 5米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴顶点坐标为， ∵， ∴有最大值， ∴此次羽毛球最高可达到， 故选：D． 10. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的内角和为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角与外角． 由每个内角度数可得每个外角的度数，从而可得边数，再乘以每个内角的度数即可． 【详解】解： ， ∴这个多边形的内角和为． 故答案为：． 12. 某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.803 0.801 由表，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为______（保留小数点后一位）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，且摆动的幅度越来越小．根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势值来估计概率．这个固定的近似值就是这个事件的概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多或各种可能结果发生的可能性不相等时一般通过统计频率来估计概率． 【详解】解：根据表格数据可知，频率稳定在0.8．估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为0.8． 故答案为：0.8． 13. 如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转180°得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．若在第2023段抛物线上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线与轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在轴下方，再根据横坐标确定点的纵坐标即可得解． 【详解】解：令，则，解得 同理： 由图可知，抛物线在轴下方， 的纵坐标等于点的纵坐标， 当时，，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，利用点的变化确定函数图像的变化更简便，掌握中心对称点的坐标的特点是本题的关键． 14. 如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分析题意，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．结合矩形的性质以及旋转的性质得，则点G在射线上运动，当时，的值最小，再证明四边形是矩形，则，，运用勾股定理以及等腰三角形的性质得，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点E是边上的一点，点F，G分别是的中点，延长，交于点H．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，可得，，可证，．延长交于点，易证，，．过点作于点，易证四边形是矩形，．在中，，，通过勾股定理即可求的长，从而求的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ； 延长交于点， ∵， ∴， 又，， ， ，； 过点作于点， 四边形是矩形，； 点是的中点， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 三．解答题 17. 如果一个二次函数图象经过、、三个点，那么请解决以下问题： （1）求这个二次函数解析式； （2）若这个二次函数解析式表示为（，a、b、c为常数），则 ①时，自变量x的取值范围为_________； ②时，方程的两根分别为_________； ③时，自变量x的取值范围为_________． 【答案】（1） （2）①全体实数；②；③ 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）①把二次函数配方为顶点式，根据抛物线都在轴上方解题即可；②解方程求出值即可；③在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线，借助图象求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 设这个二次函数解析式为， 将、、代入解析式得： ， 解得：， ∴这个二次函数解析式为， 【小问2详解】 ①， ∴开口向上，最小值为， ∴时，自变量x的取值范围为全体实数， 故答案为：全体实数； ②解方程得： ； 故答案为：； ③抛物线和直线的图象如图所示， 借助图像可知：时，自变量x的取值范围为， 故答案为：； 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 18. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心的坐标为___________； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为___________；（结果保留根号） ②点在___________；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则弧的长为___________． 【答案】（1） （2）①；②外；③ 【解析】 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案； ②利用勾股定理求出点到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； ③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； ③如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴ 故答案为；. 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，求弧长，准确确定圆心是解答此题的关键． 19. 一个布袋里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同． （1）从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为_____； （2）若从布袋中先摸出一个球，无放回，再从口袋中摸出一个球，用树状图法求出两次摸出的球都是红球的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先将树状图补充完整，得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得． 【小问1详解】 解：∵布袋中一共有3个球，其中白球1个， ∴从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为， 故答案为： ； 【小问2详解】 由树状图可知，共有6种等可能结果，其中摸出两次都是红球的情况有2种， 分别为（红1，红2）、（红2，红1）（记作事件）， ∴． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，在中，是边上的高，点D在边上，交于点O，且，是的平分线，交于点F，交于点G．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴和为直角三角形， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2） 证明：根据解析（1）可知：， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）证明，得出，根据，结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）证明，得出，证明，得出，，证明，得出，同理得：，得出，即可得出，根据比例的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，为的直径，为弦，点D为的中点，过点D作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是半圆的直径， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，，由是半圆的直径，可得，从而可得，再由，可得，进一步可得，再由是的中点，得出，从而得出，最后由等腰三角形的判定可得结论； （2）连接．首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 设， 在中，则有， 解得， 圆的半径长为． 22. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？ 如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？ 【答案】8里 【解析】 【分析】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设这座方城每面城墙的长为x里， 由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里， ∴∠B=∠ACD， ∴△CEB∽△ADC， ∴， ∴ ∴x=8， 答：这座方城每面城墙的长为8里． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据旋转的性质求解，的图象与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分点Q在直线l左侧，点Q在直线l的右侧，点Q在抛物线顶点三种情况讨论，分别求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：当点Q在直线l左侧时，如图1， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵将线段绕点P旋转，得到线段， ∴，， ∴C与Q关于直线l对称， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点Q在直线l的右侧时，如图2， 过点Q作于F，于E， 由旋转知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴点Q的坐标为， 代入中， 解得∶或（舍去）， ∴Q的坐标为， 当点Q在抛物线顶点时，如图3， 将线段绕点P旋转，得到线段，点C坐标为， 假设P点纵坐标与C点相同， ∵P点坐标为， ∴， ∵，，此时三角形为等腰直角三角形， ∴，Q点坐标为， ∴Q点在抛物线的顶点坐标处． 综上，点Q的坐标为或或． 24. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若半径为6，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 即是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接．由，可得．由，可得．由，可得，所以．结合，，，可得．所以，即是的切线． （2）设的半径为，所以．由，可得．在中，由勾股定理得，结合，可得，解得或（不符合题意舍），再对运用勾股定理求解即可． （3）由，可得．可求出．由于，可得．所以在中，运用三角函数求出，则面积可求，扇形面积可求，最后利用求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得：或（不符合题意舍）， ∴； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， ， 在中，． ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查知识点为：切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式．证明切线的辅助线，一般为连接圆心和切点，再证明垂直．求阴影部分面积，思路是用我们已知得几何图形面积来表示阴影部分面积．熟练掌握切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式，是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $