2.1.1不等关系与不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 课时1 不等关系与不等式 作者编号：32100 1.能用不等式（组）表示实际问题的不等关系. 2.用两实数大小关系的基本事实，能灵活用作差法比较两个数与式的大小. 3.能由赵爽弦图和两个实数大小关系的基本事实，得出a2+b2≥2ab及等号成立的条件，并会使用. 学习目标 作者编号：32100 实际生活中的不等关系 高矮 轻重 长短 能否用不等式表示它们呢？ 情景导入 作者编号：32100 （一）从生活中抽象出不等关系 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 1.右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，即 . 0 <v≤40 40 2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%，即 . 新知讲解 作者编号：32100 3.三角形ABC的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，即 . 4.如图，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即 . CD＜CE 作者编号：32100 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： 因此，销售总收入为： 用不等式表示为： 作者编号：32100 ①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等． ②列不等式(组)：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 归纳总结 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤 作者编号：32100 例1 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系. 解：由题意知0<x≤18,菜园的另一边长为 m，因此菜园面积S=x, 由题意可知，S≥110，即x≥110, 所以题中不等关系可用不等式组表示为 如何解以上所列的不等式呢？ 典型例题 作者编号：32100 在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么会存在以下三种情况： （二）实数的大小的比较方法 当点A在点B的左边时， 当点A在点B的右边时， 当点A与点B重合时， （b） x （B） A a=b 新知讲解 作者编号：32100 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a=b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立. A B a b x （B） A a （b） x B A a b x 现在你能想到比较两个实数大小的方法吗？ 作者编号：32100 比较实数a,b的大小的依据： a>b a<b a=b 它们的差与0 归纳总结 作者编号：32100 例2 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 解： (x+2) (x+3) － (x+1) (x+4) =( x2+5x+6) －( x2+5x+4) =2 >0 所以(x+2) (x+3) > (x+1) (x+4) . 作差 变形 判号 定论 典型例题 作者编号：32100 练1.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解：∵(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋2+. 又(x＋2+＞0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 练一练 作者编号：32100 （三）重要不等式 问题3 如图是北京召开第24届国际数学家大会的会标，它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的，颜色的明暗使其看起来像一个风车. ①这个图案中有着怎样的几何图形？ ②若三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形面积S1与 四个全等直角三角形面积之和S2为多少？ ③你能找到它们之间的不等关系吗？能得出什么不等式？ 大正方形ABCD、四个全等直角三角形、小正方形EFGH 大正方形的面积S1为a2＋b2，四个直角三角形的面积之和S2为2ab， a2＋b2＞2ab 那么S1和S2有可能相等吗？ 新知讲解 作者编号：32100 a2＋b2＞2ab a2＋b2＝2ab a＝b 当a＞0，b＞0时，a2＋b2≥2ab 当且仅当a＝b时，等号成立. 一般地， a2＋b2 ≥ 2ab 当且仅当a＝b时，等号成立. 我们称这个不等式为重要不等式. 作者编号：32100 思考：你能给出不等式a2＋b2≥2ab的证明吗？ 证明：（作差法） 注意：作差（比较）法既是比较大小(或证明大小)的基本方法，又是推导不等式的基础. 作者编号：32100 练2.已知a>0，b>0.求证：a2＋3b2≥2b(a＋b). 证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b) ＝a2－2ab＋b2 ＝(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a2＋3b2≥2b(a＋b). 练一练 作者编号：32100 1、会列不等式（组） 2、实数的基本性质 a－b＞0  a＞b; a－b＝0  a＝b; a－b＜0  a＜b. 3、作差法的步骤 步骤：作差，变形，判号，定论 4、重要不等式 一般地，对于任意实数a，b，我们有： 当且仅当a=b时，等号成立 . 本课小结 作者编号：32100 1.(多选题)下列关于不等关系的说法正确的是( 　　) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h满足关系为0<h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确，则a≤b正确 ACD 当堂检测 作者编号：32100 2.若实数a>b，则a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”) > 解：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2， 又a>b，所以(a－b)2>0. 3.已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分别对应实数轴上两点A，B，则点A在点B的_______．(填“左边”或“右边”) 左边 作者编号：32100 解：因为a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9) ＝－x2－x－1＝－－<0， 所以a<b，所以点A在点B的左边． $