2.2 基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，以2002年国际数学家大会弦图为导入，引导学生通过表示大正方形面积得出重要不等式a²+b²≥2ab，再通过代换推导基本不等式√(ab)≤(a+b)/2，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于借助弦图和圆中几何关系培养数学眼光，通过作差法证明和例题推理发展数学思维，用“积定和最小，和定积最大”模型强化数学语言表达。学生能深化知识应用，教师可依托系统结构提升教学效率。

2.2 基本不等式 新课导入 2002 年北京第 24 届国际数学家大会（ICM）的会标，取材于中国古代数学家赵爽的「弦图」：大正方形由 4 个全等的直角三角形和 1 个小正方形拼成，设直角三角形的两条直角边分别为 a，b。 ① 用 a，b 表示大正方形的面积，你能得到哪两种表达式？ ② 比较这两种表达式的大小，能得出什么结论？ ③ 这个结论中，等号成立的条件是什么？ S大正方形>4S直角三角形 a2+b2≥2ab (a=b时取等号) 重要不等式 证明：∵ a2+b2-2ab =(a-b)2≥0 ∴ a2+b2≥2ab (当a=b时取等号) 新知探究 问题1 特别地，如果，我们用和分别代替上式中的，可以得怎样的式子？ 当且仅当 a = b 时等号成立. 其中 叫做 的算术平均数， 叫做 a，b 的几何平均数 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 新知探究 二、基本不等式的几何意义 如图， AB是圆的直径， O为圆心，点C是AB上一点， AC=a, BC=b. 过点C作CD⊥AB，连接AD、BD、OD. 当且仅当时，结果取等号，此时 几何意义：圆的半径长不小于圆内弦长的一半 例题讲解 例1：用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，菜园的长和宽分别是多少时，所用篱笆长度最短？最短篱笆是多长？ 变式：如果改为：“用36m长的篱笆围一个矩形菜园，菜园面积最大是多少，又在什么时候取到?” 方法归纳 已知x,y都是正数， （1）如果积xy等于定值P，那么当______时，和x+y有最小值________ （2）如果和x+y等于定值S，那么当______时，积xy有最大值________ x=y x=y 积定和最小，和定积最大 1.未知数大于0； 题型条件：一正二定三相等 2.乘积或和为定值； 3.取“=”的条件 知识应用 1. 若 a > 0，则 的最小值为 ________，此时 a = ________。 2. 已知 x > 0，y > 0，且 x + y = 10，则 xy 的最大值为 ________。 3. 已知 x > 0，y > 0，且 xy = 16，则 x + y 的最小值为 ________。 2 1 25（x=y=5） 8（x=y=4） 例题讲解 知识应用 知识应用 1．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是( 　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C．＞ D．≥2 解析：举反例，对于A，当时，，故A错； 对于B，当且时，，故B错； 对于C，与B同理，错误； 对于D，因为ab＞0，故且，， 当且仅当时，不等式取等号，故D对. 知识应用 2.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2 ＝2. ②若x＜0，则x＋＝－≤－2 ＝－4. ③若a，b∈R，则≥2 ＝2. 解析：①错：没有取等号的成立条件； ②正确，由于x＜0，则，且，满足基本不等式的条件； ③错，当a或b = 0时，不等式不成立. 例题讲解 方法归纳 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 知识应用 例题讲解 方法归纳 通过“1”的代换利用基本不等式求最值的策略 形如：“已知，求的最小值，其中都大于0”的问题，可利用“1”的代换技巧，构造定积求解最值. 步骤：由，得 故 ，当且仅当时，不等式取等号 知识应用 3.（2）已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式≥m恒成立的实数m的范围是________． 解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4， ∴＝·(x＋y)＝ ＝(5＋4)＝. 当＝即x＝，y＝时取等号， ∴的最小值是.∴m≤. 课堂总结 1 重要不等式 对任意实数成立 等号：a = b 适用范围最广 2 基本不等式 要求 a > 0，b > 0 等号：a = b 一正、二定、三相等 3 两个最值模型 和定积最大 积定和最小 配凑法、乘 1 法 等号必须能取到 法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝， 2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D. 例2　若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2　　 B．2　　 C．2ab　　 D．a＋b [解析]　法一：∵0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b， ∴a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，∴a＋b＞a2＋b2，故选D. 例 2（2）已知m＝a＋(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定 解析：因为a＞2，所以a－2＞0. 又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2， 所以m≥2 ＋2＝4. 由b≠0得b2≠0，所以4－b2＜4，即n＜4.所以m＞n. 例3（利用基本不等式求最值）　 (1)已知x＞2，求x＋的最小值； [解]　(1)∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6. 当且仅当x－2＝即x＝4时，等号成立． ∴x＋的最小值为6. 3.(1)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值； 解：(1)∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，∴x(1－2x)的最大值为. 例3（利用基本不等式求最值）　 (2)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值． (2)∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)·＝10＋＋≥10＋2 ＝18. ∴x＋2y的最小值为18. $