2.1 .1不等关系与不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”，通过生活中交通限速、酸奶质量标准等实例导入，引导学生从实际问题抽象不等式，再借助作差法比较大小，结合赵爽弦图初步认识重要不等式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如用赵爽弦图直观呈现重要不等式培养几何直观，通过作差法证明与小组合作发展推理能力，用符号语言转换表规范表达。学生能提升抽象与逻辑思维，教师可依托结构化探究活动提高教学效率。

2.1 课时1 不等关系与不等式 32100 1.会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式. 2.能根据两个实数大小关系的基本事实，利用作差法比较不等式的大小关系. 3.结合赵爽弦图，初步了解重要不等式. 学习目标 32100 2 生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志，你知道它们的含义吗？它们能否用不等式表示呢？ 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. 问题导入 32100 探究一：会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式． (1) 某路段限速40 km/h； (2) 某品牌酸奶的质量检查规定， 酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； (3) 根据图1，表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (4) 根据图2，表示连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 图1 图2 活动1：用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系，与同学比较你们的答案是否相同. 新知探究 32100 对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”，就是v的大小不能超过40，于是0<v≤40. 对于(3)，设△ABC的三条边为a，b，c，则a＋b>c，a－b<c. 对于(4)，如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE. 不等式 根据实际问题中的不等关系 抽象出 32100 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换: 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 __  __ ___ ___ > <  ≥ ≤ 1.从实际问题抽象出不等关系： 归纳总结 ①找关键词；②设未知数；③列不等式. 32100 练一练  1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造 个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍. h≤4； a+b≥0； 32100 探究二：根据两个实数大小关系的基本事实，利用作差法比较 不等式的大小关系 6>5 思考：对于两个具体实数我们可以直接比较大小，如果给我们两个式子，又如何比较大小呢？ a ，b谁大谁小？ A B b x （b） x （B） A B A b x 活动2：如下图，利用数轴上的点与实数一一对应关系，比较实数a ，b的大小，并完成下列填空. 32100 A B a b x （B） A a （b） x B A a b x a-b 0 a-b 0 a-b 0 比较两个实数a，b大小的依据（基本事实）： (1) 如果a－b是_______，那么a>b.符号表示：a－b>0⇔_______． (2) 如果a－b等于0，那么a＝b.符号表示：a－b＝0⇔_______． (3) 如果a－b是_______，那么a＜b.符号表示：a－b＜0⇔_______． 正数 a>b a＝b 负数 a<b 作差与0比较 32100 （1）比较(x+2)(x+9)和(x+4)(x+7)的大小 2.应用得出的基本事实，比较下式的大小，并与同学讨论过程中遇到的难点和易错点.（小组合作完成） 解：（1）因为 所以， （2）已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 练一练 32100 （2）已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． （2）∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)． 32100 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． 归纳总结 比较两个实数(或代数式)大小的步骤： 32100 探究三：结合赵爽弦图，初步了解重要不等式. 活动3：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．观察下图解决下列问题： 图1 图2 32100 （1）正方形ABCD边长为__________， 面积S1为______________ （2）四个直角三角形 ， 它们的面积和 S2可表示为_______________ (3) S1 S2,由此能得到不等式 . > a2＋b2＞2ab 什么条件下会转化为等式关系呢？ 全等 32100 作差法： 当且仅当 时，等号成立. 32100 1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是( ) A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 2.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则(　　) A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q D C 基础 随堂检测 32100 3.如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为______________． 提升 随堂检测 32100 随堂检测 32100 任务：回答下列问题，构建知识导图 1.不等式的基本事实有哪些？ 2.如何比较两个式子的大小？ 3.对于不等式 ，等号什么时候成立？ 课堂总结 32100 对于(2)，由题意，得 （4）当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形 缩为一个点，这时就有．于是就有： ，当且仅当时，等号成立． 证明：， 因为，，当且仅当时，等号成立． 所以． 由两个实数大小关系的基本事实得 (a2＋b2)>ab 4.已知a>b，证明a>>b. 证明：因为a>b，所以a－b>0， 所以a－＝＝>0， 所以a>. 因为－b＝＝>0，所以>b. 综上，a>b时，a>>b. $