2.2 课时1 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 课时1 基本不等式 作者编号：32100 1.了解基本不等式的定义，掌握基本不等式的证明方法和几何解释. 2.能运用基本不等式求解最值问题. 学习目标 作者编号：32100 填一填：若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 （1）正方形ABCD的面积S= ； 四个直角三角形的面积和S' = ; （2）S与S’有什么样的不等关系，如何表示？ （3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？ A B C D E(FGH) 当a=b时 A B C D E F G H a b 复习导入 作者编号：32100 一般地，，有 当且仅当时，等号成立 通过完全平方公式进行证明： 当a≠b时， 当a=b时， 所以，当且仅当a=b时等号成立 这个不等式有何作用？还能进行怎样的变形呢？ 作者编号：32100 代换法 问题1 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用 分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 新知讲解 作者编号：32100 如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立. a＝b 可以得到：两个正数的几何平均数 它们的算术平均数. 小于等于 正数a,b的 几何平方数 正数a,b的 算术平方数 （一）基本不等式 作者编号：32100 范围不同 等号成立的条件相同 问题2 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 转化 作者编号：32100 如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立. a＝b 证法一：作差法 证法二：分析法 即 要证 只要证 只要证 只要证 显然，上式是成立的. 执果索因 （二）基本不等式的证明及几何解释 作者编号：32100 证法三：几何法 当且仅当C是圆心时，即a=b时，等号成立 A B C D E a b O 如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 几何意义：①圆的半径大于或等于半弦； ②直角三角形的斜边上的中线大于或等于斜边上的高. 作者编号：32100 问题3 你能否写出基本不等式的几种变形？ 如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立. a＝b 作者编号：32100 例1 已知x＞0，求x+的最小值. 解：因为x>0，>0， 所以x+≥2=2， 当且仅当x=，即x=1时等号成立， 因此所求最小值为2. 如何利用基本不等式来求呢？ 一正：各项必须为正; 二定：各项之和或各项之积为定值; 三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 使用前提 检验等号 典型例题 作者编号：32100 变式1：已知x≥2，x＋的最小值是2吗？ 解：因为x>0，>0， 所以x＋≥2=5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， 因此最小值不是2. 练一练 × 作者编号：32100 变式2：当x<0时，求x＋的最大值. 因为x<0，则－x>0， 故原式的最大值为－4. 一正 二定 三相等 练一练 作者编号：32100 变式3：当x＞1时，求x＋的最小值. 解：因为x>1，故有x－1>0， 所以x＋=x-1+≥2+1=5， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5. 练一练 凑配法 作者编号：32100 例2 已知，，,求的最大值. 解： 如何利用基本不等式求乘积的最值呢？ 典型例题 作者编号：32100 练4.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是( ) A.400 　　 B.100 　　 C.40 　　 D.20 A 一正 二定 三相等 (和定) 练一练 作者编号：32100 （三）最值定理 （1）已知x，y都为正数，则如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值 ； 简记为： 积定和最小. （2）已知x，y都为正数，则如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值 . 简记为：和定积最大. 新知讲解 作者编号：32100 例3 12 典型例题 作者编号：32100 练5.已知a>0，b>0，且ab=1，则a+4b的最小值为　　　　.  4 练一练 作者编号：32100 回顾本节课所学，回答下列问题： 1.基本不等式是如何证明的？它有哪些变形形式？ 2.利用基本不等式求最值的步骤是怎样的？你认为利用基本不等式能求解哪些问题？ 本课小结 作者编号：32100 基本不等式求最值问题： 1.一正：符合基本不等式，成立的前提条件; 2.二定：化不等式的一边为定值（a+b为定值或ab为定值）; 3.三相等：必须存在“=”成立的条件. 作者编号：32100 1.下列不等式中正确的是( ) D 当堂检测 作者编号：32100 2.设x>0，y>0，且x＋4y＝16，则xy的最大值为( ) A.80 B.77 C.16 D.82 C 当堂检测 作者编号：32100 3.已知x<0，则x＋ －2有( ) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值－4 D.最小值－4 C 当堂检测 作者编号：32100 ， ≤ ≤ ≤ ≤ 故有－x＋≥2＝4， 所以－(-x+)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立. 解：原多项式可变为x＋＝－(-x＋)， S2 2 解析 因为a>0,b>0,且ab=1, 所以a+4b≥2=4,当且仅当a=4b,即a=2,b=时,等号成立. A.a＋≥4 B.a2＋b2≥4ab C.≥ D.x2＋≥2 $