第2章 2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式，涵盖简单分式不等式解法、三个“二次”关系及应用、实际问题解决，通过问题思考（如分式与整式不等式等价性）衔接旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是微课程辅助转化思想教学，典例变式（如已知解集求参数）培养逻辑推理与数学运算，实际案例（电价收益、绿化面积）发展数学建模。分层评价体系助学生巩固，教师可精准教学，提升核心素养。

第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 　 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元学习五 二次函数与一元二次方程、不等式 任务一　简单的分式不等式 1 任务二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 2 任务三　一元二次不等式的实际应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.熟练掌握分式不等式的解法，提升数学运算的核心素养． 2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系， 并能应用三个“二次”之间的关系解决一些问题，提升直观 想象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题，培养数学建模的核 心素养． 任务一　简单的分式不等式 返回 问题导思 问题．＞0与(x－3)(x＋2)＞0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 提示：＞0与(x－3)(x＋2)＞0等价． ≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 新知构建 简单分式不等式的解法 类型 同解不等式 ＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) (ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) (ax＋b)(cx＋d)≥0(≤0)，且cx＋d≠0 ＞k(≥k)(其中k为非零实数) 移项通分转化为上述两种形式 微提醒 解简单分式不等式的主导思想是化分式不等式为整式不等式． 典例 1 解下列不等式： (1)≥0； 解：不等式≥0等价于 解不等式组得－1≤x＜3. 故原不等式的解集为{x|－1≤x＜3}． (2)＞4. 解：不等式－4＞0， 即＞0. 即 解不等式得x＜－1，或x＞3.故原不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞3}． 规律方法 简单分式不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 对点练1.解下列不等式： (1)＜0； 解：＜0⇔(2x＋1)(1－x)＜0， 不等式等价于(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－． 故原不等式的解集为． (2)≤1. 解：因为≤1， 所以－1≤0， 所以≤0， 则(4－x)(2x－3)≤0且2x≠3， 所以(x－4) ， 从而x＜或x≥4. 故原不等式的解集为． 返回 任务二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 返回 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 解：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根.由根与系数的关系可知＝－5，＝6，故＝－. 又由a＜0知c＜0，故不等式cx2＋bx＋a＜0， 即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜或x＞， 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为． 典例 2 变式探究 1.(变设问)若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集． 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a＜0. 所以c＜0，，故不等式cx2－bx＋a＞0， 即x2－x＋＜0，即x2＋x＋＜0， 解得－， 故原不等式的解集为． 2.(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为”．求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以×2＝＜0，－＋2＝－.所以b＝－a，c＝－a， 所以不等式cx2＋bx＋a＜0变为x2＋x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0. 又因为a＜0，所以2x2＋5x－3＜0， 故所求不等式的解集为. 法二：由已知得a＜0且＋2＝－，×2＝知c＞0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－，－＝＝＝－，所以x1＝－3，x2＝. 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为. 规律方法 　　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0，a≠0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： 1.根据解集来判断二次项系数的符号． 2.根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不 等式． 3.约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 注意　三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． √ 对点练2.(1)(一题多解)若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为 法一：因为不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，所以－2，1是方程ax2－x－c＝0的两个根，即－2，1是函数y＝ax2－x－c的零点．所以－2＋1＝，所以a＝－1，c＝－2，即a＜0.故选B． 法二：因为不等式的解集为{x|－2＜x＜1}，所以a＜0，排除C、D．又函数y＝ax2－x－c的图象与x轴交点的横坐标为－2，1，故B正确，A错误．故选B． (2)若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则实数a＝___． 4 由题意知，不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则(x－a)(x＋1)＞0⇔(x＋1)(x－4)＞0，故a＝4. 返回 任务三　一元二次不等式的实际应用 返回 (链教材P53例4，P54例5)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．［注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)］ (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式； 解：由题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)． 典例 3 (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20％？ 解：由题意，有(x－0.3)≥［a×(0.8－0.3)］(1＋20％)，且0.55 ≤x≤0.75， 整理得解得0.6≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20％． 规律方法 解不等式应用题的步骤 对点练3.某施工单位在对一个长800 m、宽600 m的空地进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解：设花坛的宽度为x m， 则绿草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m． 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0，0＜x＜300， 解得x≥600(舍去)，或x≤100， 由题意知x＞0，所以0＜x≤100， 所以当x在0＜x≤100取值时， 绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 所以花坛宽度的取值范围是{x|0＜x≤100}． 课堂小结 返回 任务再现 (1)简单分式不等式的解法．(2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用．(3)一元二次不等式的实际应用 方法提炼 转化法、恒等变形法 易错警示 (1)解分式不等式要等价变形．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义 随堂评价 返回 √ 1.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集为 A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1} ≥2即为≤0即故－2≤x＜1，所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜1}．故选C． √ 2.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，那么不等式cx2－ax＋b＞0的解集为 A． B． C． D． 因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以a＜0，且－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，所以－2＋1＝－，－2×1＝，即c＝－2a，b＝a，所以不等式cx2－ax＋b＞0可化为－2ax2－ax＋a＞0.因为a＜0，所以2x2＋x－1＞0，即(2x－1)(x＋1)＞0，解得x＞，或x＜－1.故选D. 3.若不等式ax2－3x－b＜0的解集为{x|－1＜x＜4}，则＋＝____． 由题意得x＝－1，x＝4是方程ax2－3x－b＝0的两个根，所以⇒a＝1，b＝4，所以＋＝1＋＝. 4.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围是_________ _____________． {t|10≤t ≤15，t∈N} z＝(t＋10)(－t＋35)，由题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，t∈N，所以t的取值范围是{t|10≤t≤15，t∈N}． 返回 课时分层评价 返回 1.不等式≥1的解集为 A． B． C． D． √ ≥1⇔≥0，所以(4x－3)(x－2)≤0且x≠2，解得≤x＜2，则原不等式的解集为.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为 A．{x|x＞1，或x＜－2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2，或x＜－1} D．{x|－1＜x＜2} √ 因为ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，所以a＞0，且a＝b．故＞0，等价于(x＋1)(x－2)＞0，所以x＞2，或x＜－1.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝(500＋30x)元，为使月获利不少于8 600元，则月产量x需满足(假设生产的风衣均能销售完) A．55≤x≤60 B．60≤x≤65 C．65≤x≤70 D．70≤x≤75 √ 由题意，得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a的解集为(　　 ) A． B． C． D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原不等式可化为即可得故不等式的解集为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若一元二次不等式kx2－2x＋k＜0的解集为{x|x≠m}，则m＋k的值为 A．－1 B．0 C．－2 D．2 √ 因为不等式kx2－2x＋k＜0的解集为{x|x≠m}，所以解得k＝－1，m＝－1，故m＋k＝－2.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－1，或x＞3}，则下列结论正确的是 A．a＜0 B．c＜0 C．a＋b＋c＜0 D．cx2－bx＋a＜0的解集为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，即a＜0，故A正确；又x＝－1，x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以得故c＞0，故B错误；a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a＞0，故C错误；cx2－bx＋a＜0，即－3ax2＋2ax＋a＜0，即3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)＜0，得－＜x＜1，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.不等式≥0的解集为{x|－1≤x＜5}，则a的值为___． 5 由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是__________． {a|0≤a≤4} ①若a＝0，则1＜0不成立，此时不等式ax2－ax＋1＜0的解集为空集；②若a≠0，则解得0＜a≤4.综上，实数a的取值范围是{a|0 ≤a≤4}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为______． 乙车 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2＞12，s乙＝0.05x＋0.005x2＞10.分别求解，得x甲＜－40或x甲＞30，x乙＜－50或x乙＞40.由于x＞0，从而得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h．经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为． (1)求a，c的值； 解：由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为． 由根与系数的关系，得 解得a＝－6，c＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以所求不等式的解集为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如果关于x的不等式＞0的解集为{x|－1＜x＜3}，则不等式＜0的解集为 A． B． C． D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＞0等价于(ax－1)(x＋b)＞0，而(ax－1)(x＋b)＝0的两根为，－b，因为不等式解集为{x|－1＜x＜3}，故可得a＜0，且＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3，则＜0即＜0，等价于(2x＋3)(2x－1)＞0，故所求不等式的解集为．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.关于x的不等式x［x－(a＋1)］＜0的解集是{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是 A．{a|0≤a≤2} B．{a|－2≤a＜－1，或－1＜a≤0} C．{a|0≤a＜1，或1＜a≤2} D．{a|－2≤a≤0} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＋1＝0，即a＝－1时，x2＜0的解集为∅，∅⊆{x|－1≤x≤1}，符合条件．当a＋1＞0，即a＞－1时，不等式x［x－(a＋1)］＜0的解集为{x|0＜x＜a＋1}，所以{x|0＜x＜a＋1}⊆{x|－1≤x≤1}，所以解得－1＜a≤0.当a＋1＜0，即a＜－1时，不等式x[x－(a＋1)]＜0的解集为{x｜a＋1＜x＜0}，所以{x｜a＋1＜x＜0}⊆{x｜－1≤x≤1}，所以解得－2≤a＜－1.综上，－2≤a≤0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x％，八月份的销售额比七月份增加x％，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为____． 20 由题意得七月份的销售额为500(1＋x％)万元，八月份的销售额为500(1＋x％)2万元，所以3 860＋500＋2［500(1＋x％)＋500(1＋x％)2］≥7 000，即25(1＋x％)2＋25(1＋x％)－66≥0，解得1＋x％≤－(舍去)，或1＋x％≥，即x％≥20％，所以x的最小值为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为产量的函数； 解：设利润为y万元，当0≤x≤5时，y＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋x－， 当x＞5时，y＝5×5－×52－0.25x－0.5＝12－x，故y＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)． 解：要使企业不亏本，则y≥0. 即或解得0.11≤x≤5，或5＜x≤48，即0.11≤x≤48. 即产量在11台到4 800台之间时，企业不亏本. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)设集合A＝，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A⋂B中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．{a|a＞1} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知，方程x2－2ax－1＝0(a＞0)的两根异号，且两根之积为－1. ①若A∩B中恰有两个整数为2，3，则有解得≤a＜； ②若A∩B中恰有两个整数为－1，2，则有且此时a无实数解； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ③若A⋂B中有两个整数为－1，－2，则有又a＞0，故此时a无实数解． 综上可得a∈．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)某自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，其中0≤t≤24. (1)供水几小时后，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ 解：设蓄水池中存水y吨， 则y＝400＋60t－120)2＋40(0≤t≤24)，当t＝6时，y的值最小，为40， 故供水6小时后，蓄水池中的存水量最少，最少水量为40吨． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在24小时内，有几个小时出现供水紧张现象？ 解：令＝x，则x2＝6t，则y＝400＋10x2－120x． 由400＋10x2－120x＜80，得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，即4＜． 又＝8， 所以24小时内有8个小时出现供水紧张现象． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 $