2.2 基本不等式课件（第2课时）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过问题导入回顾上节课的定义、几何意义及“一正二定三相等”使用条件，搭建从结构特性到实际应用的学习支架，衔接等式与不等式性质，助力学生理解知识脉络。 其亮点是以矩形菜园、贮水池造价等实际问题和分式最值、权方和不等式证明为例，运用模型思想和问题驱动，培养学生数学眼光（发现数量关系）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（构建模型）。提供系统案例与变式训练，帮助学生提升应用能力，教师可直接用于教学，提高效率。

2.2 基本不等式 （第2课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 相等关系与不等关系 等式性质与不等式的性质 基本不等式 基本不等式 基本不等式的应用 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及解法 一元二次不等式的应用 本章知识框图 课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式 03 01 02 进一步掌握基本不等式求解最值的一般方法 能利用基本不等式模型去理解和识別实际问题中的数量关系，并用基本不等式 解决的两类最值问题，提高用模型思想解决问题的 能力. 课时教学目标 能利用基本不等式相关不等式的证明，提升逻辑推理能力. 问题1：上节课我们研究了基本不等式的结构特性，知道它是解决最值问题的有力工具，你能说说基 本不等式可解决哪几类最值问题？ 环节一 新课导入 2.基本不等式的使用特点 1.基本不等式的定义 3.证明不等式 积xy等于定值，和x＋y有最小值 和x＋y等于定值，积xy有最大值 基本不等式 综合法：由因导果 分析法：执果索因 “一正,二定,三相等” 算术平均数 几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 积等于定值，和有最小值 和等于定值，积有最大值 环节二 新课探究 例1 环节二 新课探究 例1 环节二 新课探究 例2 环节二 新课探究 环节二 新课探究 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值．利用基本不等式求最值； (3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论． 环节二 新课探究 变式训练 环节二 新课探究 环节二 新课探究 变式训练 环节二 新课探究 环节三 应用新知 例3 环节三 应用新知 例3 环节三 应用新知 说明： 连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立. 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 环节三 应用新知 例4 变式训练 环节三 应用新知 答案： 变式训练 环节三 应用新知 答案： 环节三 应用新知 例5 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 环节四 课堂小结 环节五 作业布置 P48 练习第1,2,3,4题； P48 习题2.2第3,4,5,6题. 感谢聆听 （1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆的长度为. （1）由已知得.由，可得， 所以，当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m. （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大. 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆的长度为. （2）由已知得，矩形菜园的面积为. 由，可得，当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 分析：贮水池呈长方体形，它的高是3 m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了， 那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低． 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为，，水池的总造价为元． 根据题意，有． 由容积为4800 m3，可得，因此． 所以，当时，上式等号成立，此时． 所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元． 注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝. 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为层,则每平方米的平均建筑费用为(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? 【解析】设将楼房建为层,则每平方米的平均购地费用为. 设每平方米的平均综合费用为元, 则.当取最小值时,有最小值. ,当且仅当,即时,等号成立. 所以当时,有最小值2000. 因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. (1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围； (2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出最大值． 为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场,规定的每条边长均不超过20米.如图所示,矩形为羊驼养殖区,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设(单位:米),养殖区域的面积为(单位:平方米). (2) 当且仅当时,等号成立,经验证,符合题意, 即当米时,取得最大值,最大值为平方米. 解：(1)因为,所以, 所以, 因为,解得,所以. 解：因为,所以, 即,即,故. 因为,所以. 故的最小值为. 在求解过程中两次使用了基本不等式: ,, 但这两次取等号分别需满足 与,互相矛盾, 所以“=”不能取到,从而导致错误. 若,且,求的最小值 正解：，, 所以, 当且仅当即,即,时取等号, 从而的最小值为. 若,且,求的最小值 【练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 【练习2】若正实数x，y满足，求的最小值； 解：因为，所以 ，又因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时，的最小值为． 【练习3】设，，且，求的最小值． 解：，，，， （当且仅当，即，时取等号），. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【练习1】若，则的最大值是______． 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 【练习2】若，且，则的最小值为____． 证明：因为均为正数， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时取等号. 已知为正实数，，，， 求证权方和不等式：，并说明取等条件． 【练习1】已知，求证：. （已知） 证明：由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【练习2】设均为正数，且，求证：. 证明：由基本不等式得：，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 【练习3】已知均为正实数，求证：； 证明：因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． $