2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系，通过园艺师围矩形区域的实际情境抽象出一元二次不等式，以一次函数与一元一次不等式的关系为学习支架，引导学生构建三者间的内在逻辑。 其亮点在于以情境化导入培养数学眼光，通过函数图像与方程、不等式的“形数结合”发展数学思维，分步骤归纳解法及含参问题拓展提升数学语言表达能力。实例丰富如例1 - 3及变式训练，帮助学生掌握解题逻辑，教师使用可系统落实课标要求，提升教学效率。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 相等关系与不等关系 等式性质与不等式的性质 基本不等式 基本不等式 基本不等式的应用 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及解法 一元二次不等式的应用 本章知识框图 课标要求 从函数观点看一元二次方程：会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实 根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通 过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体 会数学的整体性。 从函数观点看一元二次不等式：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方 程的联系。 03 01 02 能通过具体实例，归纳借助二次函数求解一元二次不等式的基本过程，发展逻辑推理、数学运算素养. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 课时教学目标 能通过具体实例归纳一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的联系. 问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m， 围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 环节一 新课导入 设这个矩形的一条边长为x m 则另一条边长为m x m m 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案. 含一个未知数，最高次数为2的不等式，是一个一元二次不等式. 环节二 新课探究 一元二次不等式的概念 一元二次不等式的一般形式是： 其中均为常数，. 一般地，我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式. 环节二 新课探究 一次函数与轴的交点为 一次方程的解为； 易知不等式的解为； 一次函数的函数值为0 一次不等式的解为； 一次函数的函数值大于0 一次函数在轴的上方 形 数 方程 不等式 函数 方程 函数 方程 环节二 新课探究 一元二次函数与轴的交点为 一元二次方程的实数根为, ； 一元二次不等式的解集为 二次函数图象在x轴上方 形 一元二次函数图象在x轴下方 一元二次不等式的解集为 函数 方程 函数 不等式 函数 不等式 数 函数零点. 环节二 新课探究 一元二次函数的零点 注：零点是一个实数， 不是一个点. 环节二 新课探究 环节二 新课探究 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根() 没有实数根 的解集 或 的解集 环节三 应用新知 例1 【分析】求根，根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. 解：对于方程， ∵，∴它有两个实数根.解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为 或. 环节三 应用新知 步骤：①求根——求出一元二次方程的根 ②画图——根据开口方向及零点，画出一元二次函数图象 ③求解——根据图象确定一元二次不等式的解集 一般的一元二次不等式的求解步骤 和 环节三 应用新知 例2 解：对于方程， ∵，∴它有两个实数根.解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为. 环节三 应用新知 例3 【分析】对于二次项系数是负数即的不等式， 可以先把二次项系数化成 正数，再求解． 解：不等式可化为 ∵，∴方程无实数根. 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为. 因此，原不等式的解集为. 环节三 应用新知 求解一元二次不等式的过程 变式训练 环节三 应用新知 解下列不等式： （1); （2); （3); （4). 解：(1)方程＝0 的解为. 根据 的图象 可得原不等式的或. (2)不等式两边同乘以－1，得≤0. 方程的解为 ＝－3，＝1. 根据的图象， 可得原不等式的解集为. 变式训练 环节三 应用新知 解下列不等式： （1); （2); （3); （4). 解：(3)方程，有两个相同的解＝＝1. 根据 的图象， 可得原不等式的解集为. (4)因为∆＜0，所以方程，无实数解. 根据的图象， 可得原不等式的解集为. 环节四 拓展应用——含参一元二次不等式求解 例4 环节四 拓展应用——含参一元二次不等式求解 例4 环节四 拓展应用——含参一元二次不等式求解 例4 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． 环节四 拓展应用——含参一元二次不等式求解 变式训练 环节四 拓展应用——含参一元二次不等式求解 变式训练 环节四 拓展应用——含参一元二次不等式求解 变式训练 环节四 拓展应用——含参一元二次不等式求解 例5 环节四 拓展应用——三个二次之间的关系 环节四 拓展应用——三个二次之间的关系 变式训练 环节四 拓展应用——三个二次之间的关系 答案：AB 答案：B 环节五 归纳小结 环节六 作业布置 (1)课本P53的练习1-2题； (2)课本P55的习题2.3的1,2,3,4题. 感谢聆听 由题意，得， 其中，即． 整理得：，． ① 问题2：如何解不等式？如何从一次函数的观点求解一元一次不等式? 问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 于是二次函数的两个零点是，． 问题4：根据上述特殊的一元二次不等式的解法，你能将其推广到一般的一元二次不等式 和的解集的求解吗？ 一元二次方程， 设， 可分为，，三种情况． 二次函数的图象 与轴的位置关系也分为三种情况． 一元二次不等式和 的解集也分三种情况. 求不等式的解集 求不等式的解集 求不等式的解集 解下列关于的不等式，其中. (1)；(2)；(3). 解：∵，∴，即 ∴，解得 ∴原不等式的解集为. 解下列关于的不等式，其中. (1)；(2)；(3). 解：（2）由题可知，分类讨论如下： 当，即或时，方程两根为 二次函数开口向上，不等式解集为； 当，即或时，方程有重根，原不等式的解集为； 当，即时，二次函数图象在轴上方，原不等式的解集为. 解下列关于的不等式，其中. (1)；(2)；(3). 解: (3)由题可知，不等式即， 方程两根为，讨论两根大小如下： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 解：原不等式可化为， 当时，不等式化为，得； 当时，两边同除以，得，； 当时，原不等式可化为，即，； 解关于的不等式： 当时，，原不等式两边同除以负数，不等号反向，化为，，或； 当时，，原不等式两边同除以负数，不等号反向，化为， ，或. 解关于的不等式： 综上原不等式的解集是： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 解关于的不等式： 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 解： ∵关于的不等式的解集为， ∴，且是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴不等式化为，即，解得 因此不等式的解集为 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数合称为“三个‘二次’”，它们之间有着某种特定的联系，这种联系使得我们可以对它们进行相互联想，从多个角度来分析和思考有关的问题．具体关系如图所示． 【练习2】不等式的解集为，则（ ）. A. B. C. D. 【练习1】(多选）若的解集是，则下列正确的是(　). A. B.且 C. D.不等式的解集是 $