专题05有理数乘法与除法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题05有理数乘法与除法知题通关讲义 知识点01:倒数（除法转化必备工具） 1. 倒数定义 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 2. 倒数的求法 3. 关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与 0 相乘得 1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02:有理数的乘法 （一）两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：(-4)(-6)=+(46)=24 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(-4)6=(46)=24 任何数与 0 相乘，结果为 0 例：0(-12.5)=0 （二）多个有理数连乘符号规律（高频考点） 1.因数不含 0：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负； 2.因数中只要有一个 0，乘积直接等于 0，无需计算绝对值。 例：(-2)(-3)(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负；(-1)20(-5)=0 （三）乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 (一）除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：ab = a(b≠0) (二）两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任意非 0 数，结果为 0。 ⚠️ 禁忌：0 不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 知识点04:有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数； 2.确定符号：数负因数总个数，定最终正负； 3.约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果； 4.合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 1. 多个有理数相乘符号判断错误。 提醒：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负，容易数错负号数量；只要有一个因数为0，积直接等于0。 2. 乘法分配律漏乘。 提醒：使用a(b+c)=ab+ac时，括号外的数要和括号内每一项相乘，经常只乘第一项，漏掉后面项。 3. 除法法则理解出错。 提醒：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；不可将被除数、除数分别取倒数。 4. 0作除数概念误区。 提醒：0不能当作除数；0除以任何不为0的数结果是0，容易错误认为一个数除以0等于0。 5. 倒数概念理解错误。 提醒：乘积为1的两数互为倒数；0没有倒数；负数的倒数仍是负数，容易错把负数的倒数写为正数。 6. 乘除同级运算顺序出错。 提醒：乘除属于同级运算，必须从左往右依次计算，不能随意优先计算后面乘法。例：2÷×2，容易错误先算×2。 7. 带分数参与乘除未先化成假分数。 提醒：带分数参与乘除运算，要先转化为假分数，直接拆分整数、分数部分计算极易出错。 8. 计算中途丢失负号。 提醒：负负得正，正负得负；乘除混合运算时，容易中途漏掉负号。 9. 错误套用除法分配律。 提醒：(a+b)÷c可以拆成a÷c+b÷c；a÷(b+c)不能拆成a÷b+a÷c，这是高频陷阱。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数乘除中的简便运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十三 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 2．已知，且，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质得到、的所有可能取值，再结合和确定、的具体值，最后计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴与同号， 即有两种情况：或 ∵，当时，，不满足条件，舍去； 当时，，满足条件 ∴． 3．已知，为有理数，下列条件：① ；②；③；④．其中一定能够推理出 ， 异号的条件是________(填序号)． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，相反数和绝对值，熟练掌握上述定义与法则是解题的关键．利用有理数的乘法法则和绝对值的意义对每个条件进行逐一判断即可． 【详解】解： ， 异号． ①符合要求； ， 异号． ②符合要求； ， 互为相反数，但不一定异号， ③不符合要求； ， ， 不一定能够推理出异号． 一定能够推理出异号的条件是：①②． 故答案为：①②． 4．如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，不符合题意； 、，箭头所指的数可能是算式的积，符合题意； 、中里最小为，则，不符合题意； 、，若里为，则，不符合题意； 题型二、多个有理数的乘法运算 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 6．若定义一种新的运算：，请利用此定义计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法运算法则，属于基础题型．明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键．根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为： 7．手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米． 【答案】 【分析】要使长方体收纳盒容积最小，长方体的长和宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高，代入长方体体积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥底面直径为，高为，要将圆锥放入长方体中，长方体的长、宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高， ∴长方体的长为，宽为，高为， ∴收纳盒的最小容积为：（立方厘米）． 8．下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，多个有理数相乘，熟练掌握多个有理数相乘计算法则是解题的关键； 根据多个有理数相乘计算法则即可求解； 【详解】解：A、，故该选项错误； B、 故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D 题型三、有理数乘法的实际应用 9．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相遇问题的路程计算，利用“总路程=速度和×相遇时间”的公式即可求解，关键是理解相向而行时两人的路程和等于两地距离. 【详解】解：∵甲的速度为，乙的速度为，两人相向而行经过相遇 ∴A、B两地的距离为两人行驶的路程之和 ∴距离. 10．如图，现需要对某市的四个区域种植7 种颜色的鲜花，有公共边的两个区域不种植同一种颜色的鲜花，则共有______种种植方法． 【答案】1050 【分析】本题考查有理数乘法的应用，依次考虑区域，区域，区域，区域，根据有公共边的两个区域不种植同一种颜色的鲜花，确定每个区域有多少种可能，所得结果连乘即可． 【详解】解：先考虑区域，有7种可能； 区域与区域Ⅰ相邻，颜色不能相同，只有6种可能， 区域与区域Ⅰ和相邻，颜色不能相同，只有5种可能， 区域与区域和相邻，颜色不能相同，只有5种可能， ， 即共有1050种种植方法， 故答案为：1050． 11．居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（   ） 天峨县城区供水价格表 一、居民生活用水 价格（元） 第一阶梯：月用水量立方米/户 3.99 第二阶梯：35立方米/户<月用水量立方米/户 5.44 第三阶梯：月用水量立方米/户 6.88 A．191.52元 B．210.37元 C．261.12元 D．330.24元 【答案】B 【分析】根据收费规则，列出算式进行计算即可. 【详解】解：（元）. 题型四、倒数 12．2026的倒数是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数为． 13．已知和互为倒数，，那么____________ 【答案】/0.25 【分析】根据倒数定义得到，将除法转化为乘法化简后代入计算即可． 【详解】解：∵和互为倒数，， ∴． ∴． 14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，求一个数的绝对值． 根据“b与c互为相反数，且”可知c是负数，进而根据求出，进而根据倒数的定义，相反数的定义求出b、a的值即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数，且， ∴c是负数， ∵， ∴， ∴， ∵a与b互为倒数， ∴， 故答案为：． 题型五、有理数乘法运算律 16．公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义． 【详解】解：是乘法分配律的直接应用． 故选：B． 17．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 18．计算：_____． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将带分数化为假分数，利用乘法交换律和分配律进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：4． 19．计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配率，根据题意，结合乘法分配律的定义：两个数的和或差与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加或相减．据此判断即可． 【详解】解：A．，运用了乘法交换律和结合律； B．计算后，用验算，运用了乘法交换律； C．想，得出，运用了“商不变的规律”； D．竖式计算，把看作，分别用和1乘，再将两个积相加，运用了乘法分配律． 故选：D． 题型六、有理数的除法运算 20．计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 21．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键；根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 22．小明在做除法运算时，将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果为，则（    ）中的数为_______，正确的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是关键．先根据题意可得除数为，再进行计算，最后代入原式，运用有理数的除法运算计算即可求解． 【详解】解：除数为； ∴正确的结果为． 故答案为：①；②． 23．已知有下列四个算式： ①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法，减法，乘方和除法的运算，根据各自的运算法则一一求解即可得出答案．第①个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果；第②个式子根据有理数的乘方可以计算出正确的结果；第③个式子根据有理数的除法可以计算出正确的结果；第④个式子根据有理数的减法可以计算出正确的结果． 【详解】解：，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确； 则正确的有2个． 故选：B． 题型七、有理数除法的应用 24．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据规定分别求出每个密文字母对应的明文即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵对应的序号为， ∴的余数是， ∵键盘上的序号到， ∴为， ∴对应的明文为， 同理可得，对应的明文为，对应的明文为，对应的明文为， ∴将密文“”解密后对应的明文是， 故选：． 25．学校为艺术节准备了一批小礼品．如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个；5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个．这批礼品最少有_____________个． 【答案】37 【分析】本题考查同余问题，根据题意，礼品数量满足除以3余1、除以5余2、除以7余2的条件．利用同余性质，先找到同时满足除以5和7余2的数，即35的倍数加2，再代入除以3余1的条件求解即可． 【详解】解：∵3，5，7互质，且礼品数量满足除以5余2、除以7余2， ∴礼品数满足除以35余2， ∵且，满足除以3余1； ∴这批礼品最少有37个； 故答案为：37． 26．甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，甲和乙都要给丙24元，每千克苹果（   ）元． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的应用． 假设每个人的苹果同样多，可得丙少拿的苹果重量，用钱数除以对应的重量即可得每千克苹果的价格． 【详解】解： 丙比平均应得份数少拿的重量为：（千克）， 丙得到的总钱数为：（元）， 每千克苹果的价格为：（元）， 故选：B． 题型八、有理数乘除混合运算 27．（ ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 28．定义一种新运算“#”，，如，那么_______． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了阅读理解能力．根据新定义先运算，再运算即可． 【详解】解：根据题中新定义可得， 则， 故答案为：． 29．计算的结果是________． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 30．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 题型九、有理数乘除中的简便运算 31．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 32．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 题型九、有理数乘除中的简便运算 33．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 34．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 【答案】 【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据定义的新运算，将，代入得：． 35．如图，从六块木牌中任选三块木牌上的数字，先做乘法运算，再做减法，结果记作．那么的最大值为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数的运算. 利用有理数的运算法则解答即可． 【详解】解：∵各数中，的绝对值最大，、其次， ∴求最大的数应用， ∵再做减法， ∴应减去负数， 最大， 的最大值为． 故答案为：． 36．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数运算，掌握有理数运算法则，根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 根据题意，先求出所有数字之和，除以2，即可得到竖线上所有数字之和，求出b的值，再分析出横线上的所有数字，根据内圈上的4个数字之和也等于总数字之和的一半，求出内圈左边数字的值，即可得到a的取值情况，即可求解． 【详解】解：， ， 竖线上的四个数字为， 横线上的四个数字为， ， 内圈左边的数字为， 为或2， 当时，， 当时，， 故的值为或1． 故选：B． 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 37．某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖了600元，以成本计算，其中一台盈利，另一台亏本，则本次出售中商场（    ） A．不赔不赚 B．赚了100元 C．赚了50元 D．赔了50元 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．分别求出盈利的成本为元，亏本的成本为元，总成本1250元，总售价1200元，比较得赔50元． 【详解】解：∵盈利的电子琴成本为元， ∵亏本的电子琴成本为元， ∴总成本为元， 总售价为元， ∴元， 即赔了50元． 故选：D． 38．某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 【答案】 【详解】解：设，拆分三段： 第一段：；第二段：；第三段：； 验证：：，拼接； ：，拼接； 计算：，拼接得． 39．如图，某校体育场是一个400米的半圆式田径场地，为了便于计算、丈量、画线，该体育场的直段长80米，则弯道的半圆半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握圆的周长公式．根据跑道的周长求出弧形部分的长度，根据圆的周长公式求出结果即可． 【详解】解：∵跑道全长400米，其中直道的长为80米， ∴半圆形弯道的半径为（米）， 故选：C． 40．八支球队参加足球锦标赛．每支球队恰好与另一支球队交手一次．每场比赛，胜者得3分，负者不得分．如果比赛是平局，每队各得1分．比赛结束时，所有队伍的总分是61分．问冠军队伍的得分最大可能是多少？（） A．16 B．17 C．18 D．19 E．21 【答案】B 【分析】先计算总比赛场次，再根据总分算出平局和分出胜负的场次，要让冠军得分最大，需让冠军赢尽可能多场次，再验证可行性即可得出结果． 【详解】解：总场次：8支球队单循环比赛，总场次为场． 每场分出胜负总积3分，平局总积2分，若全部分出胜负总分为分，实际总分为61分． ∵每有一场平局总分减少1分， ∴平局场数为场，分出胜负的场数为场． 要让冠军得分最大，冠军需赢尽可能多场次， ∵一共只有5场分出胜负， ∴冠军最多赢5场，剩余场为平局． ∴冠军得分是分． 验证可行性：剩余7支球队之间所有比赛均为平局，共21场平局，总得分分，剩余7队和冠军比赛时，5队输得0分，2队平各得1分，共得2分，剩余7队总得分分，总分为分，符合条件． 若冠军得分大于17分，需要至少赢6场，即至少6场分出胜负，超出总分出胜场数5场，不可能， 因此冠军最大得分是17分． 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 41．已知，，三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用在数轴上的位置，确定符号和绝对值，进而对各个选项做出判断． 【详解】解：由题意得，，，且，， 、，故本选项正确，不符合题意； 、，故本选项错误，符合题意； 、，故本选项正确，不符合题意； 、，故本选项正确，不符合题意． 42．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是_________（请填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，以及有理数的减法、加法法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键．根据有理数的加减法和乘除法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由，在数轴上的位置可知，， ∴；；；，，， ∴；； 综上，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 43．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，其中点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是 ，它们的相对位置如图所示，下列对点A，B，C的位置描述正确的是（   ）． A．点A，C在原点的左侧 B．点B，C在原点的右侧 C．点A在表示数1的点的左侧 D．点B在表示数1的点的右侧 【答案】C 【分析】由数轴可知：，可得且，根据题意，按照的取值（范围）进行分类讨论，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，则且，所以且， ①当时，， 由得，即， 由得， ∴当时，，，满足题意， 此时，点在原点左侧，点在表示数的点的左侧，点A在表示数1的点的左侧， ∴选项B、D错误，不符合题意，（例如，，，）， ②当时，，点与点重合，不符合题意， ③当时，， 由得，即， 由得， ∴当时，，，满足题意， 此时，点A，C在原点的右侧，点A在表示数1的点的左侧， ∴选项A错误，不符合题意，（例如，，，）， ④当时，，点与点重合，不符合题意， ⑤当时，， 由得，即， 由得，与“”矛盾， ∴不符合题意， 综上可得，或， ∴点A在表示数1的点的左侧， ∴选项C正确，符合题意． 题型十三、数轴上的翻折 44．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2024对应的字“振”， 故选：A． 45．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，先求出折叠前，再结合折叠后得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 46．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．规定新运算“”：，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． 4．阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 5．某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）： ，，，，，，，， (1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)没到达，离教育基地还差米 (2)分钟 【分析】（1）计算各运动量值的和，比较计算结果与米的大小，判断计算即可； （2）计算各运动量值的绝对值的和，除以运动的速度计算即可． 【详解】（1）解：∵（米）， 又∵， ∴没有到达教育基地； ∵（米）， ∴他离教育基地还差米． （2）解：∵（米）， 又∵时间=路程速度 ∴（分钟） ∴他此次行程共用了分钟． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题05有理数乘法与除法知题通关讲义 知识梳理 知识点01：倒数（除法转化必备工具） 1.倒数定义 乘积为1的两个有理数互为倒数。 2.倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除 以这个数求倒数 小数的倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照 真、假分数求倒数的方法来进行 先把带分数化为假分数，然后将分子分 带分数的倒数 母调换位置 3.关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与0相乘得1）： (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02有理数的乘法 (一)两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：(4)×(-6)=+{4×6)=24 试卷第1页（共3页） 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(4)×6=-(4×6)=-24 任何数与0相乘，结果为0 例：0×(12.5)=0 1.因数不含0：负因数个数为偶数，积为正：负因数个数为奇数，积为 负； 2因数中只要有一个0，乘积直接等于0，无需计算绝对值。 例：(2)×(3)×(4)，3个负因数（奇数），结果为负；（←1）×2×0×(-5)=0 (三)乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先 把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数 分别与这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac 简便计算4种分组技巧 ①凑1分组：互为倒数优先相乘：②凑整分组：③同符号结合：④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03有理数的除法 (一)除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 试卷第2页（共3页） 字母公式：ab=axb0) (二)两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除：0除以任意非0数，结果为 0。△禁忌：0不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04：有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数： 2确定符号：数负因数总个数，定最终正负； 3约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果： 4合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部：禁止跳步约分，移 动数字必须连带自身符号。 知识点05：实际应用题型 通用解题流程 试卷第3页（共3页） 1.规定相反意义量的正负： 2.根据题意列乘除算式： 3按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 高频易错点 1. 多个有理数相乘符号判断错误。 提醒：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负，容易 数错负号数量；只要有一个因数为0，积直接等于0。 2. 乘法分配律漏乘。 提醒：使用a(b+c)一ab+ac时，括号外的数要和括号内每一项相乘，经常 只乘第一项，漏掉后面项。 3. 除法法则理解出错。 提醒：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数：不可将被除数、 除数分别取倒数。 4.0作除数概念误区。 提醒：0不能当作除数：0除以任何不为0的数结果是0，容易错误认为 个数除以0等于0。 5. 倒数概念理解错误。 提醒：乘积为1的两数互为倒数：0没有倒数；负数的倒数仍是负数，容 1414i1114ii4i11411i1t4i1i44i1i414i1i1t4ii444i141113ii1t41i44i11i411 试卷第4页（共3页） 易错把负数的倒数写为正数。 6. 乘除同级运算顺序出错。 提醒：乘除属于同级运算，必须从左往右依次计算，不能随意优先计算 后面乘法。例：22，容易错误算22。 1 7. 带分数参与乘除未先化成假分数。 提醒：带分数参与乘除运算，要先转化为假分数，直接拆分整数、分数 部分计算极易出错。 8.计算中途丢失负号。 提醒：负负得正，正负得负；乘除混合运算时，容易中途漏掉负号。 9. 错误套用除法分配律。 提醒：(a+b)广c可以拆成a÷c+b-c;a÷(b+c)不能拆成ab+a÷c,这是高频 陷阱。 题型通关 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 试卷第5页（共3页） ★★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数乘除中的简便运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十三 数轴上的翻折 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★压轴 分题型精讲 题型一、两个有理数的乘法运算 1.计算： 3×(-4) 的结果是() A.-12 B.12 C.-1 D.1 2.已知 lal=6,bl=2 且b>0,a<b,则a-b的值为 3.已知a,b为有理数，下列条件：① ab ab ②b<0,③a+h=0:④ ab =-ab 其中一定能够推理出a,b异号的条件是 (填序号)： 4.如图中箭头所指的数，可能是算式()的积 0 5000 1000015000→ A.2ol×2.o B.3o.1×15o C.25.0x20g D 试卷第6页（共3页） a08×5a 题型二、多个有理数的乘法运算 5.计算-2)×3×4x(-1) 的结果是() A.24 B.-24 C.12 D.-12 a△b=(-3)×a×2×b (1A2)△(-3)= 6.若定义一种新的运算： 请利用此定义计算： 7.手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是6cm,高是10cm.如果 把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是 立方厘米。 8.下面计算正确的是() A.12×(-13)x(-14)=-2184 B.-15x(4(》-12 c（9列×5×(-8)x0=9x5x8=360 D.-5x(4)x(-2)x(-2)=5x4x2x2=80 题型三、有理数乘法的实际应用 9.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为4kmh,乙的速度为 6kmh,经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为() A.10km B.20km C.30km D.40km 10.如图，现需要对某市的四个区域种植7种颜色的鲜花，有公共边的两个区域不种植同 一种颜色的鲜花，则共有种种植方法。 试卷第7页（共3页） 11.居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5 人)，称这样的收费方式为阶梯计价，冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方 米，则冬冬家12月应交水费为() 天峨县城区供水价格表 一、 居民生活用水 价格（元） 第一阶梯：月用水量≤35立方米/户 3.99 第二阶梯：35立方米户<月用水量≤50立方米户 5.44 第三阶梯：月用水量>50立方米户 6.88 A.191.52元 B.210.37元 C.261.12元 D.330.24 元 题型四、倒数 12.2026的倒数是() 1 1 A.-2026 B.2026 C.-2026 D.2026 A2 13.己知4和B互为倒数，B≠0，那么2B 1 14.如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，-2,3,3，a,b,相对 面上的两个数互为倒数，则ab=一 试卷第8页（共3页） -2 b c=2 15.己知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且b>C,若 题型五、有理数乘法运算律 16,公式P(a+h+c)=pa+pb+pc 的运算依据是() A.乘法结合律 B.乘法分配律 C.积的乘方法则 D.同底数 幂的乘法法则 17.下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是() A2训+g B(g》2(0 c.（-5.25)×(-14) .（24 .片器号 19.计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是() A.25×16×15=(25×4)×(4×15) B.计算0.68×3.4后，用3.4×0.68验算 C.想360÷12=30，得出36÷1.2=30 D.竖式计算125×41（如图） 125 ×41 125 500 5125 试卷第9页（共3页） 题型六、有理数的除法运算 20.计算 1÷(-3) 的结果等于() A.7 B.6 C.-7 D.6 21.计.} 2.小明在做除法运算9)()时， 将除法变成乘法时，除数没有变成其倒数，算出结果 为6，则()中的数为 正确的结果为 23.已知有下列四个算式： @(+=,@9-6,③(3-9，e(}{8周-号 其中正确的 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型七、有理数除法的应用 24.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如 字母Q与数字序号0对应.当明文中的字母对应的序号为a时，将3a+1除以26后所得的余 数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“H”对应密文“X”.按上述规定，将密文 “TYOP”解密后对应的明文是() 0 6 团周 网周 A.FJME B.WAFZ C.WAFZ D.WASX 25.学校为艺术节准备了一批小礼品.如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个：5个 5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个.这批礼品最少有 个 试卷第10页（共3页） 26.甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，甲和乙 都要给丙24元，每千克苹果()元. A.4 B.3 C.2 D.1 题型八、有理数乘除混合运算 222 A.2 B.-1 C.1 D.4 28.定义一种新运算“#，a#h=b÷(a+b),如3#4=3x4÷(3+4)=12÷7= 7，那么 (1#2)#3= 29.计分（←48）+子（←12x的结哭是 30.若”1”是一种数学运算符号，并且！=1,2！=2×1,3！=3×2×1,41=4×3×2×1 n(n-1)(n-2)(n-m+1) ,…,且公式C”的值为 m! ,则C+C的值为() A.C B. C.C D.C 题型九、有理数乘除中的简便运算 31.用简便方法计算： 252(2*+25- (1)4 23x(-9)+41x(-9）-8.1 6)16.8×7+7.6x7 32 16 32.计算 试卷第11页（共3页） (1)19991991x11997 199941999 a2+品写品号) 3 5 1 25 (④)1x2×32×3x43×4×5 十…十 12×13×14 题型九、有理数乘除中的简便运算 33.按照运算顺序，计算 0-4÷(-2) 第一步应算() A,10-4 B.4÷(-2) C.同时计算 D.无法确 定 34,对于有理数ab,定义运算“※”如下：※b= a+b(其中a+b≠0)，则2※3= 35.如图，从六块木牌中任选三块木牌上的数字，先做乘法运算，再做减法，结果记作P .那么P的最大值为一 32回 36.同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将4， -3,-2,-1,0,1,2,3,分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数 字之和都相等（每个数字仅用1次），则a-b的值为() a 0 b -4 试卷第12页（共3页） A.1或-1 B.-4或1 C.-1或4 D.4或-4 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 37.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖了600元，以成本计算，其中一台盈利 20%,另一台亏本20%，则本次出售中商场() A.不赔不赚 B.赚了100元 C.赚了50元 D.赔了50 元 38.某校园餐厅把Wi-Fi密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密 码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是 学子餐厅欢迎你！ 账号： XueZiCanTing 9⊕2⊕4=183654 8⊕6⊕3=482472 4⊕3⊕5=密码 39.如图，某校体育场是一个400米的半圆式田径场地，为了便于计算、丈量、画线，该 体育场的直段长80米，则弯道的半圆半径为() 80 80 60 80 120 240 A.π米 B.π米 C.π米 D.π米 40.八支球队参加足球锦标赛.每支球队恰好与另一支球队交手一次.每场比赛，胜者得 3分，负者不得分.如果比赛是平局，每队各得1分.比赛结束时，所有队伍的总分是61 分.问冠军队伍的得分最大可能是多少？() A.16 B.17 C.18 D.19 E.21 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 试卷第13页（共3页） 41.己知a,b,c三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是() b a 0c→ A.b<a<c B.-a<b C.a+b<0 D. c-a>0 42.有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①a-b<0;②a+b<0; b-1 >0 ③(b-1(a+)>0;④a-1;⑤-a>b.其中结论正确的是 (请填序号)· -101 43.在数轴上有三个互不重合的点A,B，,C,其中点A表示的数是a,点B表示的数是b, 点C表示的数是b,它们的相对位置如图所示，下列对点A,B,C的位置描述正确的是 (). A C B a ab b A.点A,C在原点的左侧 B.点B,C在原点的右侧 C.点A在表示数1的点的左侧 D.点B在表示数1的点的右侧 题型十三、数轴上的翻折 44.若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放 置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为-2和-1，如图.现将正方形绕着顶点按 顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则 连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（) -6-5-4-3-2-10123456 A.振 B.兴 C.中 D.华 45.在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是-10和5，如图，以点C为折 点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且AB=1,则C点表示的数是 B BA 试卷第14页（共3页） 46.数轴上有A,B,C三点，其中点A,B分别表示数6，-2，现以点C为折点将数轴 向右对折（如图），若点A的对应点A刚好与点B重叠，则点C表示的数是() B A.0 B.-5 C.-3 D.-4 解答题 1.计算： a-5)-(-5×5x(4 a(-0x(-70+6x-0x 6-3)x(-7)-3x(-6 1-(-1)×(-1)-(-1)×0×(-1) (4) 2.计算： a189)小(-9)÷7 @-075)G(12）, o3g（) 引（副 3.规定新运算“⑧”：a⑧b=-3ab-l,求： 028(-3)的值： -3(-2(号引t 试卷第15页（共3页） [x(x>0) 4。阀读材料=0x=0 -x(x<0) 即当时，因x x>0 x=x=1:当。时，风=x三一1，用这个 x<0 结论解决下列问题： a 0 (1)己知数4，b在数轴上对应点的位置如图所示，则 d,o a b (2)已知a,b是有理数，当ab>0时， a b la bc abc (3)若abc>0,则albc'abc 5.某校组织学生进行徒步研学活动.第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方 向直走到距离学校1500米处的教育基地.学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为 队伍护行.以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单 位：米)： +150.-50,+200.-250.+250,-50.+300,-250,+700 (1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为75米分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 试卷第16页（共3页）