2.2.4 均值不等式及其应用（2）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

学案导学解析 gqlx- bx1-2-9 2.2.4 均值不等式及其应用(2) 课堂讲练 新知探究 一、利用均值不等式变形求最值 探究 1 若两个正数的和为 12，那么这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 解析：设两正数为，，。 由均值不等式 ，当且仅当取等号。 当两个数都等于时，积取得最大值。 探究 2 若两个正数的积为 49，那么这两个正数各取何值时，它们的和最小？ 解析：设两正数为，，。 ，当且仅当取等号。 当两个数都等于时，和取得最小值。 1、用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知都是正数，如果和等于定值，那么当时，积有最大值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知都是正数，如果积等于定值，那么当时，和有最小值 2、规律 口诀：和定积最大，积定和最小。 使用均值不等式求最值三条件：一正、二定、三相等。 注释： 一正：参与不等式的变量均为正数； 二定：和或者积为定值； 三相等：能够取到这个等号成立条件。 二、均值不等式求最值方法研究 方法一：“常值代换法” 求最值 方法说明：已知条件为一个等于 1 的式子，将目标表达式乘以该式，展开后使用均值不等式。 例 1 (1) 已知，，且，求的最小值。 解　(1)∵+=1，且x>0，y>0，∴x+y=(x+y)·=10++≥10+2=10+6=16. 当且仅当=.又+=1，即x=4，y=12，x+y取得最小值16. (2) 已知，且满足，求的最小值。 解∵x，y>0，∴+=(x+2y)=8+++2≥10+8=18. 当且仅当即时取等号，∴+的最小值为18. 训练 1、已知，且，求的最小值。 解　∵x>0，y>0且x+2y=2，∴(x+2y)=1， ∴+=·(x+2y)=≥(5+4)=， 当且仅当=，即x=y=时，+. 方法二、 “消元代换法” 求最值 方法说明：利用条件等式把一个变量用另一个变量表示，代入目标式，配凑成均值不等式标准形式。 例 2 (1) 若实数满足，求的最小值。 解：由，变形。 ，，。 当且仅当，此时满足。 。 (2) 若正实数满足，求的最小值。 解：，。 令，则，即。 解方程，。 ，。 。当且仅当，联立原式，取等。 。 训练 2 、设，且，求的最小值。（用两种方法） 方法一：常数代换 由，两边除以：。 当，，解得取等。。 方法二：消元法 ，由得。 当，，取等。最小值。 方法三、等式与不等式互相转化求最值 例 3、若实数，满足。 (1) 求的最大值；(2) 求的最小值。 解：(1) ，，令， 。 ，，。当取等，。 (2) 由条件，又， 令，， ，，。 当取等，。 训练 3 (1) 已知，且，则的取值范围是。 解析： ，设，。 。 ，， ，。 (2) 若实数满足，求的最小值。 解：。 两边都是正数，平方：，，。 当，即取等。。 三、均值不等式的实际应用 例 4、修建面积 360 平方米矩形场地，一面利用旧墙（维修），其余三面新建围墙；旧墙对面新墙留有 2 米进出口。旧墙维修费 45 元 / 米，新墙造价 180 元 / 米，设利用旧墙长度为米。 (1) 把总费用表示成的函数；(2)取何值总费用最少，最少费用多少？ 解　(1)设与旧墙垂直的一边长为a米， 则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360. 依题意可知xa=360，则a=，所以y=225x+-360(x>2). (2)因为x>2，所以y=225x+-360≥2×-360=10 440， 当且仅当225x=，即x=24时，等号成立. 故当x=24时，修建围墙的总费用最少，最少为10 440元. 课后练 1. 若，在处取得最小值，则（） A.　B.　C.　D. 解析：令， 。选 B。 2. 点在直线图像上，，求最小值（） A.　B.　C.　D. 解析：代入点：，， ，即。 选 D。 3. 仓库租地：每月土地占用费和距离车站距离成反比；运费和距离成正比。距离车站 10km，万元，万元。两项费用之和最小，仓库距离车站（） A.千米　B.千米　C.千米　D.千米 解析：设距离，，； ，。 总费用。当，选 A。 4.，求最小值（） A.　B.　C.　D. 解析： 5.（多选）已知，，当取最小值，下面正确（） A. B. C. D. 解析： 正确：，，令，。 修正简便做法：。 等号条件，又，。 此时最小值，选 AC。 6.（多选）正实数满足，下列正确的是（） A.最小值为 B.最小值为 C.最大值 D.最小值 解析： A.； B.，是最大值，B 错； C：若选项是，，最大值； D.，D 正确。正确选项。 7.（多选），下面不等式成立的是（） A. B. C. D. 解析： A.，，成立。 B.，成立。 C.，，成立。 D.，D 错误。选 ABC。 8. 已知，，求最小值：。 解析：，。 原式。 当，结合可取等。最小值。 9. 已知，，求的最小值。 解析：根据题意，3a+b=2ab，∴+=1， 则a+b=(a+b)=2++≥2+2=2+， 当且仅当b=a即a=，b=时等号成立， 10. 已知，。 (1) 求的最小值；(2) 求的最大值。 解析：(1)因为a+2b=1，所以+=+=2++≥2+2·=4， 当且仅当a=b=时取等号，所以+的最小值为4. (2)因为a+2b=1，所以a2+6ab+4b2=(a+2b)2+2ab=1+2ab≤1+=1+=， 当且仅当a=2b，即b=，a=时取等号，所以a2+6ab+4b2的最大值为. 11、动物园建造四间完全相同长方形虎笼，一面靠着原有墙；钢筋网总长 36m。求每间虎笼长、宽各多少，每间面积最大。 解　设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x+6y=36， 即2x+3y=18.设每间虎笼面积为S，则S=xy. 由于2x+3y≥2=2，∴2≤18，得xy≤，即Smax=， 当且仅当2x=3y时，等号成立.由 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时， 可使每间虎笼面积最大. 12. 卡车在限速 100 千米每小时路段行驶 130 千米，行驶速度。汽油 2 元每升，每小时耗油升；司机工资每小时 14 元。 (1) 写出总行车费用关于表达式； (2)取何值总费用最低，最低费用是多少？ 解　(1)由题意,y=2·+14·=+(0<x≤100). (2)因为y=+≥2=26,当且仅当x=18时,等号成立, 又0<18<100, 所以当x=18千米/时时,这次行车的总费用最低,为26元. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：gqlx-bx1-2-9 2.2.4 均值不等式及其应用(2) 课堂讲练 学习目标 1、熟练掌握均值不等式及其变形的应用。 2、会利用均值不等式求解最大、最小值问题。 3、能够运用均值不等式解决实际生活中的应用问题。 新知探究 一、利用均值不等式变形求最值 探究 1 若两个正数的和为 12，那么这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 探究 2 若两个正数的积为 49，那么这两个正数各取何值时，它们的和最小？ 1、用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 2、规律： 口诀：和定积最大，积定和最小。 使用均值不等式求最值三条件：一正、二定、三相等。 二、均值不等式求最值方法研究： 方法一：“常值代换法”求最值 例1 (1)已知x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值. (2)已知x，y>0，且满足x+2y=1，求+的最小值. 训练 1、已知，且，求的最小值。 方法二、 “消元代换法” 求最值 例 2、(1) 若实数满足，求的最小值。 (2) 若正实数满足，求的最小值。 训练 2 、设，且，求的最小值。（用两种方法） 方法三、等式与不等式互相转化求最值 例 3、若实数，满足。 (1) 求的最大值； (2) 求的最小值。 训练 3 (1) 已知，且，则的取值范围是 . (2) 若实数满足，求的最小值。 三、均值不等式的实际应用 例 4、修建面积 360 平方米矩形场地，一面利用旧墙（维修），其余三面新建围墙；旧墙对面新墙留有 2 米进出口。旧墙维修费 45 元 / 米，新墙造价 180 元 / 米，设利用旧墙长度为米。 (1) 把总费用表示成的函数； (2)取何值总费用最少，最少费用多少？ 课后练 1. 若，在处取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 2. 点在直线图像上，，求最小值（ ） A. B. C. D. 3. 仓库租地：每月土地占用费和距离车站距离成反比；运费和距离成正比。距离车站 10km，万元，万元。两项费用之和最小，仓库距离车站（ ） A.千米 B.千米 C.千米 D.千米 4.，求最小值（ ） A. B. C. D. 5.（多选）已知，，当取最小值，下面正确（ ） A. B. C. D. 6.（多选）正实数满足，下列正确的是（ ） A.最小值为 B.最小值为 C.最大值 D.最小值 7.（多选），下面不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，求最小值： 。 9. 已知，，求的最小值 。 10. 已知，。 (1) 求的最小值； (2) 求的最大值。 11. 动物园建造四间完全相同长方形虎笼，一面靠着原有墙；钢筋网总长 36m。求每间虎笼长、宽各多少，每间面积最大。 12. 卡车在限速 100 千米每小时路段行驶 130 千米，行驶速度。汽油 2 元每升，每小时耗油升；司机工资每小时 14 元。 (1) 写出总行车费用关于表达式； (2)取何值总费用最低，最低费用是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $