2.2.1 不等式的证明方法2 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦不等式证明方法，涵盖综合法、分析法、反证法。通过“探究”环节呈现具体证明过程引导学生观察特点，衔接已学知识，搭建“观察实例-归纳定义-应用训练”的学习支架。 资料以“探究-定义-应用”递进设计，例题与训练结合，课堂达标和课后练习分层。助力学生理解证明逻辑，培养推理意识、抽象能力，规范数学表达，提升自主学习与问题解决能力。

学案导学 编号： gqlx-bx1-2-5 第二课时 不等式的证明方法（2） 课堂讲练 学习目标 1、理解综合法、分析法证明问题的过程与特点，会用综合法、分析法证明简单不等式。 2、掌握反证法证明命题的一般步骤，能使用反证法证明简单命题。 新知探究 一、综合法及应用 1、探究1 观察下面的证明过程，证明方法有何特点. 如果a>b>0，c>d>0，求证ac>bd. 证明:因为⇒ac>bc， ⇒bc>bd，所以ac>bd. 思考：这个证明是从 出发，一步步推出结论。 2、综合法定义： 从已知条件出发，结合定义、公理、定理，一步步推导得到结论的证明方法叫综合法。 推理形式：，由因导果。 框图： 学以致用 例 1、已知 ，求证： 训练 1、已知 ，求证： 二、分析法及应用 1、探究 2 观察下面的证明过程，证明方法有何特点. 求证： 证明： 要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 。 上式明显成立，所以原不等式成立。 思考：这个证明是从 出发，倒推寻找成立的条件。 2、分析法定义： 从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到得到一个明显成立的事实，这种证明叫分析法。 推理形式：，执果索因。 框图：得到明显成立条件。 提示：书写必须写 “要证，只需证，即证”。综合法、分析法属于直接证明。 学以致用 例 2、已知 ，证明： 训练 2若 ，证明： 三、反证法及应用 1、探究 3 观察下面的证明过程，证明方法有何特点. 求证：如果 ，那么 。 证明：假设 不成立，即 ； 若 ，得到 ，和条件矛盾； 若 ，得到 ，和条件矛盾； 所以假设错误，成立。 2、反证法定义： 先假设结论的反面成立，以此推理，推出矛盾，从而证明原命题正确；属于间接证明。 反证法三步： 1、反设：否定结论，假设反面成立； 2、归谬：从假设推理，推出矛盾（和已知、公理、事实矛盾）； 3、结论：假设错误，原命题成立。 学以致用 例 3已知 ，且 。求证：与至少有一个小于 2。 训练 3已知 ，。 求证：中至少有一个是负数。 四、归纳总结 1、综合法（由因导果） 已知条件 中间结论 最终结论；适合条件多，容易往下推导的题目。 2、分析法（执果索因） 待证结论 充分条件 已知事实；适合根式、结构复杂不等式，书写一定要写 “要证、只需证”。 3、反证法（间接证明） ①反设（写出结论否定）②归谬（推导矛盾）③下结论； 课堂达标 1、用反证法证明：“自然数 中恰有一个偶数”，反设正确的是（ ） A. 自然数 中至少有两个偶数 B. 自然数 中至少有两个偶数或都是奇数 C. 自然数 都是奇数 D. 自然数 都是偶数 2、求证：。 证明过程：要证 ，只需证 ， 即证 ，即证 ，显然成立。这个证明方法是（ ） A. 分析法 B. 综合法 C. 综合 + 分析法 D. 反证法 3、用分析法完成填空： 若 ，且 ，求证：。 证明：因为 ，要证原不等式，只需证 ， 即只需证 。因为 ，上式等价于 ， 由已知显然成立，所以原不等式成立.  4.设实数a，b，c满足a+b+c=1，则a，b，c中至少有一个数不小于　　　　.  课后练习 1、用分析法证明 “”，书写正确的是（ ） A. B. C. 欲证 ，只需证 D. 因为 ，所以 2、反证法证明命题：“三角形内角至少有一个不大于 ”，应该假设（） A. 至多一个内角不大于 60° B. 至少一个内角大于 60° C. 三个内角全部大于 60° D. 仅有一个内角大于 60° 3、要证 ，只需证明（ ） A. B. C. D. 4、下列命题正确的是（） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 5、反证法证明：“三角形不能有两个直角”，三个步骤排序： ① ，与内角和 180° 矛盾； ② 故三角形不能有两个直角； ③ 假设三角形有两个直角，不妨 。 正确序号： 。 6、若 ，，比较大小：。 7、填空 (1) ； (2) 均为正数，则 。 8、已知条件①；②；③；④；能推出的序号： 。 9、已知 ，求证：。（综合 / 分析法任选其一） 10、已知 ，求证 。分别用分析法、反证法两种方法完成。 11、已知 是互不相等非零实数。用反证法证明： 三个方程 ，，，至少有一个方程有两个不等实数根。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学解析 编号： gqlx-bx1-2-5 2.2.1 不等式的证明方法2（解析版） 课堂讲练 新知探究 一、综合法及应用 1、探究1 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点. 如果a>b>0，c>d>0，求证ac>bd. 证明:因为⇒ac>bc， ⇒bc>bd，所以ac>bd. 思考 答案：这个证明是从已知条件出发，一步步推出结论。 2、综合法定义 从已知条件出发，结合定义、公理、定理，一步步推导得到结论的证明方法叫综合法。 推理形式：，由因导果。 框图： 学以致用 例 1 已知 ，，，求证：。 证明　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴-ac<-bc.∵f<e，∴f-ac<e-bc. 训练1 已知a>b>0，d>c>0，求证:>. 证明　∵d>c>0，∴cd>0，∴>0， 由 ∴d·>c·>0，即>>0， 又∵a>b>0，∴>. 二、分析法及应用 1、探究 2阅读下面的证明过程，证明方法有何特点? 求证： 证明： 要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 。 上式明显成立，所以原不等式成立。 思考答案：这个证明是从要证明的结论出发，倒推寻找成立的条件。 2、分析法定义 从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到得到一个明显成立的事实，这种证明叫分析法。 推理形式：，执果索因。 框图：得到明显成立条件。 学以致用 例 2 已知 ，证明：。 证明　要证-≥a+-2， 只需证≥-(2-). 因为a>0，所以-(2-)=+>0， 所以只需证≥， 即2(2-)≥8-4，只需证a+≥2. 因为a>0，所以a+-2==≥0， 所以a+≥2显然成立(当且仅当a=1时等号成立)，所以要证的不等式成立. 训练 2 若 ，证明：。 证明　要证<， 只需证()2<()2， 只需证a+b-1-ab<0， 即证(a-1)(1-b)<0. 因为a>1，b>1，所以a-1>0，1-b<0， 即(a-1)(1-b)<0成立，所以原不等式成立. 三、反证法及应用 1、探究 3 求证：如果 ，那么 。 证明：假设 不成立，即 。 若 ，得到 ，和条件 矛盾； 若 ，得到 ，和条件 矛盾； 所以假设错误， 成立。 2、反证法定义 先假设结论的反面成立，以此推理，推出矛盾，从而证明原命题正确；属于间接证明。 反证法三步 ①反设：否定结论，假设反面成立； ②归谬：从假设推理，推出矛盾（和已知、公理、事实矛盾）； ③结论：假设错误，原命题成立。 学以致用 例 3 已知 ，且 。求证： 与 至少有一个小于 2。 证明　假设都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x>0，y>0，∴1+y≥2x，1+x≥2y， 两式相加得2+(x+y)≥2(x+y). ∴x+y≤2，这与已知中x+y>2矛盾. ∴假设不成立，原命题成立. 故至少有一个小于2. 训练 3 已知 ，，，。求证： 中至少有一个是负数。 证明　假设a,b,c,d都是非负数, ∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1. 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, ∴ac+bd≤1,这与已知ac+bd>1矛盾, ∴假设不成立, ∴a,b,c,d中至少有一个是负数. 四、归纳总结 1、综合法（由因导果）：已知条件⇒中间结论⇒最终结论；适合条件多，容易往下推导的题目。 2、分析法（执果索因）：待证结论⇐充分条件⇐已知事实；适合根式、结构复杂不等式；书写一定要写 “要证、只需证”。 3、反证法（间接证明）：①反设（写出结论否定）②归谬（推导矛盾）③下结论。 课堂达标 1. 用反证法证明：“自然数 中恰有一个偶数”，反设正确的是（） A. 自然数 中至少有两个偶数 B. 自然数 中至少有两个偶数或都是奇数 C. 自然数 都是奇数 D. 自然数 都是偶数 解析：“恰有一个偶数” 反面：偶数个数≠1，即 0 个（全奇）或≥2 个。答案 B 2. 求证： 证明过程：要证 ，只需证 ，即证 ，即证 ，显然成立。这个证明方法是（） A. 分析法 B. 综合法 C. 综合 + 分析法 D. 反证法 解析：执果索因，写 “要证、只需证”，答案 A 3. 用分析法完成填空：若 ，且 ，求证：。 证明：因为 ，要证原不等式，只需证 ，即只需证 。 因为 ，上式等价于 。由已知显然成立，所以原不等式成立。 4. 设实数 满足 ，则 中至少有一个数不小于 。 解析（反证思想）：假设全部小于 ，矛盾。 课后练 1. 用分析法证明 “”，书写正确的是（） A. B. C. 欲证 ，只需证 D. 因为 ，所以 解析：分析法格式 “欲证… 只需证…”。答案 C 2. 反证法证明命题：“三角形内角至少有一个不大于 ”，应该假设（） A. 至多一个内角不大于 60° B. 至少一个内角大于 60° C. 三个内角全部大于 60° D. 仅有一个内角大于 60° 解析：“至少一个 ” 否定：全部 。答案 C 3. 要证 ，只需证明（） A. B. C. D. 解析：移项：，两边都是正数，可以平方。答案 C 4. 下列命题正确的是（） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 则 D. 若 ，则 解析： A 举反例：；，不成立； B：时不成立； C：，两边乘正数不等号方向不变，C 正确； D 举反例：，。答案 C 5. 反证法证明：“三角形不能有两个直角”，三个步骤排序： ① ，与内角和 180° 矛盾； ②故三角形不能有两个直角； ③假设三角形有两个直角，不妨 。 正确序号： 6. 若 ，，比较大小：。 解析：两边平方： 比较根号内：。 7. 填空 (1) ，； (2) 均为正数，则 。 8. 已知条件① ；② ；③ ；④ ；能推出 的序号：①②④。 解析：； ① ； ②：； ④：。 9. 已知 ，求证：。（综合 / 分析法任选其一） 证明　法一　要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立，只需证2a3-b3-2ab2+a2b≥0， 即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0， 即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0. ∵a≥b>0，∴a-b≥0，a+b>0，2a+b>0， ∴(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立， ∴2a3-b3≥2ab2-a2b. 法二　∵a≥b>0， ∴a2≥b2，a2-b2≥0，2a+b>0， ∴(a2-b2)(2a+b)≥0， ∴2a3-b3-2ab2+a2b≥0， ∴2a3-b3≥2ab2-a2b. 10. 已知 ，求证 。分别用分析法、反证法两种方法完成。 【分析法】 要证 ， ，两边均大于 0，只需两边平方： 只需证： 只需证：。 ，上式成立，故原不等式成立。 【反证法】 反设：假设 时，。 两边都是正数，平方得： ，矛盾。 ∴假设错误，成立。 11. 已知 是互不相等非零实数。用反证法证明：三个方程 至少有一个方程有两个不等实数根。 证明　假设三个方程都没有两个相异实根. 则Δ1=4b2-4ac≤0， Δ2=4c2-4ab≤0， Δ3=4a2-4bc≤0，上述三个式子相加得， a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0， 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0， 所以a=b=c， 这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾. 因此假设不成立， 故三个方程ax2+2bx+c=0， bx2+2cx+a=0， cx2+2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根. 学科网（北京）股份有限公司 $